Error en las "Fracciones continuadas" de Khinchin

Question

Estoy leyendo el libro de Khinchin Fracciones continuas página 10.

$\lbrack a_1;a_2,a_3\ldots\rbrack$ es una fracción continua y $q_k$ viene dada por $q_k=a_kq_{k-1}+q_{k-2}$ . Supongamos que $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ converge para que haya un $k_0$ para lo cual $k\ge k_0$ implica $a_k<1$ .

Khinchin dice "para $k\ge k_0$ tenemos $$q_k<\frac{q_l}{1-a_k} \, (*)$$

donde $l<k$ ."

Problema: Como $a_k\to0, $ la mano derecha de $(*)$ lado tiende a $q_l$ que es fijo. Sin embargo, el lado izquierdo tiende a infinito. Como $q_k$ es una secuencia creciente, esto no puede ocurrir.

Answer 1

Esto parece un poco flojo, quizás en la traducción. La desigualdad citada no pretende ser cuantificada universalmente en $l$ . Si se leen los dos párrafos que lo preceden, muestran que $q_k < q_{k-1} / (1-a_k)$ o $q_k < q_{k-2} / (1-a_k)$ .

Así, el autor simplemente quiere decir que $(*)$ se mantiene para algunos $l < k$ . Si lees la desigualdad que sigue verás que está aplicando esto inductivamente para conectar $q_k$ más atrás, a un término anterior a $q_{k_0}$ . Esta aplicación repetida no sería necesaria si $(*)$ fueran ciertas para todos los $l<k$ .

Answer 2

El texto de Khinchin es, en efecto, un poco confuso; lo mismo ocurre con el original ruso. En una página dice que va a considerar sólo los valores enteros de $a_k$ pero en este teorema es bastante obvio que la prueba es válida para cualquier secuencia de números reales positivos $a_k$ . Una meta-explicación de por qué debemos (al menos para este teorema) pensar en $a_k$ como real está claro -- si son enteros positivos (como es el caso de las fracciones continuas estándar) entonces $\sum_{k=1}^\infty a_k$ siempre diverge y esa condición es básicamente inútil.