¿La curvatura determina la métrica?

Question

Aquí hice la pregunta de si la curvatura deterined la métrica. Ya que desgraciadamente estoy completamente nueva a la geometría de Riemann, quería preguntar, si alguien pudiera dar y explicar un ejemplo concreto para mí, tan lejos como el siguiente:

En el mes de la página (como se citó anteriormente) me dieron la siguiente respuesta a la pregunta

Dado un compacto de Riemann variedad M, hay dos métricas de g1 y g2, que no son en todas partes planas, que no son isométrica de una a otra, sino que hay un diffeomorphism que conserva la curvatura? Si la respuesta es sí: Puede elegimos M para ser un compacto de 2-colector?

En el lado positivo, si $M$ es compacta de dimensión $\ge 3$ y no tiene ninguna constante de la sección transversal de la curvatura, a continuación, la combinación de los resultados de Kulkarni y Yau muestran que un diffeomorphism la preservación de curvatura seccional es necesariamente una isometría.

Sobre 2-dimensional contra-ejemplos: en Primer lugar, cada superficie en el que se admite un subconjunto abierto donde la curvatura es (distinto de cero) constante sería, obviamente, el rendimiento de un contra-ejemplo. Por lo tanto, voy a suponer ahora que la curvatura es nada constante. Kulkarni se refiere a Kreyszig "Introducción a la Geometría Diferencial y Geometría de Riemann", pág. 164, de un contra-ejemplo atribuido a Stackel y Wangerin. Usted probablemente puede conseguir el libro a través de préstamo interbibliotecario si usted está en los estados unidos.

Miré hacia arriba en el ejemplo de Kreyszig "Introducción a la Geometría Diferencial y Geometría de Riemann", pág. 164:

Si hacemos girar la curva de $x_3=\log x_1$ sobre el $x_3$-eje en el espacio, obtenemos la superficie de revolución $X(u_1,u_2)=(u_2\cos(u_1), u_2\sin(u_1),\log(u_2))$, $u_2>0$. Este es diffeomorphic a la helicoidal $X(u_1,u_2) =(u_2\cos(u_1),u_2\sin(u_1),u_1)$.

Creo que, estos colectores no son compactas (pero asumí que la compacidad del colector en mi pregunta sobre MO). No entiendo, cómo manipular este ejemplo con el fin de obtener un compacto colector.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

He aquí otro ejemplo.

En primer lugar, imaginar un corto cilindro $S^1\times [0,1]$, y un largo cilindro $S^1\times [0,10^{10}]$, pero con el mismo radio. Suavemente la tapa de ambos extremos de los cilindros de la misma forma, el uso de los espacios homeomórficos a los discos.

El resultado colectores son tanto homeomórficos a $S^2$, son no isométrica (ya que uno tiene un diámetro mucho mayor que el otro), pero no es una curvatura de la preservación de diffeomorphism entre ellos.

Para ver esto, sólo tiene que convencer a ti mismo que es un diffeomorphism $f:S^1\times[0,1]\rightarrow S^1\times [0,10^{10}]$ con la propiedad de que $f$ es una isometría cuando se limita a $[0,\frac{1}{4}]$$[\frac{3}{4},1]$. Esta condición le permite extender $f$ a una curvatura en la preservación de diffeo de ambos compacto de los colectores.