Suma de la forma$\pm1^2\pm2^2\pm3^2\pm4^2\pm...\pm(N-1)^2\pm N^2$

Question

Hay una cadena de números: $1^2,2^2,3^2,4^2,...,(N-1)^2,N^2 $
Ponemos a $+$ (ventajas) y $-$ (negativos) de una cierta manera entre ellos. Y calcular la suma. Puede que la suma será:

1. $12$ si $N = 12$;
2. $0$ si $N = 70$;
3. $0$ si $N = 48$;
4. $-3$ si $N = 90$;

He resuelto sólo b). Es obvio que la paridad de esta suma es el mismo que en el caso de que si todas las señales entre los números eran ventajas. Así que con $N = 70$ hay $35$(número impar) de los pares de ($1^2+2^2$,$3^2+4^2$,etc) que son impares. Por lo que la suma es impar.Eso significa que nunca te $0$

Mi problema es que en otros casos la misma lógica no funciona.
También trató de modulo $3$ razonamiento.

Es la respuesta 'sí' a alguna de las preguntas? Y ¿de qué otra manera podemos demostrar que la respuesta es 'no'? Por favor, mostrar la lógica de sus pensamientos y de cómo llegó a esa solución. Yo realmente lo necesitan aprender a resolver tales problemas por mí mismo.

Answer 1

Tenga en cuenta que para cualquier $a$ hemos $$a^2-(a+1)^2-(a+2)^2+(a+3)^2=4,\tag{1}$$ y revertir los signos da $-4$. Para una elección adecuada de los signos en $b^2$ $(b+7)^2$da suma $0$. Desde $48$ es divisible por $8$, una respuesta positiva a c) de la siguiente manera.

Una respuesta positiva a d) también sigue, ya podemos utilizar $1^2-2^2$, y, a continuación, producir $0$ a partir de una elección adecuada de los signos en la próxima $88$ consecutivos plazas. Esto se puede hacer desde $88$ es un múltiplo de a $8$.

También podemos fácilmente obtener una respuesta positiva a) de la Identidad (1), en $12=4+4+4$.

Answer 2

No sé si se le permite usar una computadora, pero como sólo hay$2^{12}=4048$ posibles soluciones para (a), es posible encontrar la respuesta usando un programa simple que comprueba todas las posibles combinaciones de ventajas y Minuses y encuentra uno que suma a$12$. Existe:

ps