Tiempo óptimo para renovar un libro de la biblioteca

Question

Un mundo real de la palabra problema de mi vida:

A menudo me consultar libros y DVDs de mi biblioteca local. El estándar de verificación período de espera es de tres semanas. El uso de la página web de la biblioteca, puedo renovar cualquier desprotegido elemento en cualquier momento antes de que sea debido a extender la fecha de vencimiento de hasta tres semanas después del momento de la renovación. Me permite renovar un elemento dos veces antes de que me tiene que devolverlo.

Esto me anima a renovar los artículos sólo cuando están cerca de sus fechas de vencimiento para que yo pueda obtener la máxima cantidad de tiempo con mis cosas antes de ejecutar fuera de las renovaciones. Sin embargo, la regla es que no se puede renovar un elemento si otra biblioteca patrón retiene. Si alguien lo hace, me debe devolver el artículo por su actual fecha de vencimiento. Esto me anima a renovar los artículos temprano antes de que nadie haya una posibilidad de colocar una mano.

Así que si puedo renovar demasiado temprano, no voy a ampliar el período inicial de tres semanas de espera por mucho. Si renuevo demasiado tarde, mi tema tiene una mayor probabilidad de adquirir una retención, en cuyo caso no voy a ampliar la comprobación inicial periodo.

Lo que nos lleva a la siguiente pregunta: Cuando durante un determinado tres semanas check-out período es el mejor momento para mí para renovar un elemento para que yo pueda mantener el tema durante el mayor tiempo posible con el menor riesgo de que se hará una retención en él antes de que se puede renovar?

Supongo que podemos suponer que la probabilidad en cualquier día dado que el check-out elemento de la mina de conseguir un puesto en es constante e independiente de que día es durante el período de tres semanas. Más allá de que no tengo idea de cual es el verdadero valor de la probabilidad es, excepto que sé por experiencia que, por un tema popular, es bastante probable que una bodega recibirá colocadas dentro de, digamos, $10$ días después de que el registro.

Me interesaría si alguien puede responder a mi pregunta en general, donde la probabilidad de cada día de una bodega es $p$. Intuitivamente, si $p$ es pequeño, entonces que debo renovar la tarde; si $p$ es grande, entonces debo renovar temprano.

Además, yo también estoy interesado si alguien puede ofrecer algunas buenas estimaciones de lo $p$ realidad podría estar usando mi propio (muy aproximado) la descripción o de su propia experiencia o de análisis.

Answer 1

La primera supone que yo puede extender sólo una vez por $n$ días.

Si he tenido el elemento de $1\le k\le n$ días (desde el principio o mi último éxito de la renovación), y yo tratamos de extender, entonces esto va a tener éxito con probabilidad de $(1-p)^k$ y de ahí mi tiempo total (desde el principio o mi último éxito de la renovación) se $=n+k$ con una probabilidad de $(1-p)^k$ $=n$ con una probabilidad de $1-(1-p)^k$. Por lo tanto el valor esperado es $n+k(1-p)^k$, y la quiero para maximizar esta. Claramente, $k+1$ es mejor que el de $k$ fib $(k+1)(1-p)^{k+1}>k(1-p)^k$, es decir, $k<\frac1p-1$. Por lo tanto el (o un) mejor $k$ es

• $ k=\left\lceil\frac1p-1\right\rceil$ si esto es válido, es decir, si $\frac1{n+1}\le p<1$
• $k=n$ si $p<\frac1{n}$
• es irrelevante si $p=1$

En otras palabras, $k$ está dado por $\frac1{k+1}\le p<\frac1k$ si es posible.

En cualquier caso, esto me dará un tiempo de espera de $n'= n+k(1-p)^k$. Tenga en cuenta que si el óptimo $k$ $\gg1$ (e $p$ no mucho menor que $\frac1n$), a continuación, tendremos $n'\approx n+\frac ke$.

A continuación, suponga todavía tenemos dos intentos de extender por $n$ días disponibles. Si he tenido el elemento de $1\le k'\le n$ días y de intentar extender, este será de nuevo el éxito con las $(1-p)^{k'}$. pero como la extensión se $n'$ (en expectation9 en lugar de sólo $n$, el total previsto de arrendamiento tiempo será $n$ con una probabilidad de $1-(1-p)^{k'}$ $k'+n'=n+k'+k(1-p)^k$ con una probabilidad de $(1-p)^{k'}$, es decir, $$n+(1-p)^{k'}(k'+k(1-p)^k). $$ Esta vez, $k'+1$ es mejor que el de $k'$ fib $ \frac1p-1-k(1-p)^k>k'$. Por lo tanto vamos a recoger $$k'=\left\lceil \frac1p-1-\left\lceil\frac1p-1\right\rceil^{\vphantom|}(1-p)^{\left\lceil\frac1p-1\right\rceil}\right\rceil $$ para "moderada" $p$, pero $$ k'=\min\left\{\left\lceil\frac1p-1-n(1-p)^n\right\rceil,n\right\} $$ para las pequeñas $p<\frac1n$.

Answer 2

para una renovación

después de n días hay un $(1 - p)^n$ de probabilidades de que el libro no está reservada, cada día se vuelve reserva con probabilidad p, y no reservados por prob (1-p) - por lo que para n días es el problema de no reservados es (1 - p) x (1 - p) x ...x (1-p), n de veces -

que es de $(1 - p)^n de probabilidad

una renovación en el día n se extiende el período de préstamo n días (desde los días hasta el fin del préstamo inicial ya están garantizados)

así que mi fórmula para la esperada duración del préstamo, con una renovación en el día n, es

$E(N) = 21 + (1 - p)^n \times n$

maximizar con el cálculo

$dE/dn = 0 + log(1 - p) \times (1-p)^n + (1-p)^n$

encontrar dE/dn = 0

$nlog(1 - p) \times (1-p)^n + (1-p)^n = 0 $

$(1-p)^n (nlog(1 - p) + 1) = 0 $

$ n = -1 / log (1 - p) $

así que si el riesgo de la reserva es de 1/20

Puedo hacer que el óptimo de la fecha de renovación es -1 / log(1 - 1/20) = -1 / -.051 = 20 (natural registros)

para renovar en el día 20, luego de renovar de nuevo después de otros 20 días