¿Puedes darme un número grande con muchos divisores?

Question

Dejemos que $\tau(n)$ denotan el número de divisores de $n$ y $p$ de primera.

Hoy en el instituto he intentado encontrar un número que no sea muy grande, pero que tenga un número enorme de divisores (comparado con su tamaño), es decir $\tau(n)/n$ tiene que ser lo más grande posible.

Obviamente, $0 \leq \tau(1) \leq 1$ ya que $\tau(1)/1=1$ y $\tau(p)/p=2/p$ (por lo que puede llegar a ser tan pequeño como queramos). He probado algunos valores

• $\tau(2)/2 = 1$
• $\tau(3)/3 = 2/3$
• $\tau(4)/4 = 0.75$
• $\tau(5)/5 = 0.4$

Sin embargo, me pregunto si existe un número grande (más), con una alta proporción de divisores? ¿Existe algún número que, por ejemplo, tenga de nuevo un cociente de 2/3?

Dicho número no tiene la forma $p^x$ ya que $$ \frac{\tau(p^x)}{p^x} = \frac{x+1}{p^x}, $$ que se hacen cada vez más pequeños para mayores $p$ ou $x$ .

También no $\prod^\omega_i p_i$ , ya que $$ \frac{\tau\left(\prod^\omega_i p_i\right)}{\prod^\omega_i p_i} = \frac{2^\omega}{\prod^\omega_i p_i} = \prod^\omega_i \frac{2}{p}, $$ que también (si estoy en lo cierto) tiende a 0 para los más grandes $\omega$ .

¿O es que esto ya muestra que la proporción $\tau(n)/n$ sólo puede ser menor, no mayor, para cualquier número mayor?

Answer 1

Sin embargo, me pregunto si existe un número grande (más), con una alta proporción de divisores? ¿Existe algún número que, por ejemplo, tenga de nuevo un cociente de 2/3?

Sí, $\tau(6)/6 = \frac{2}{3}$

Tenga en cuenta que en el mejor de los casos, $n$ tiene divisores $1,2,...,\sqrt{n}$ junto con sus cofactores $\frac{n}{1},\frac{n}{2},...\frac{n}{\sqrt(n)}$ , así que eso es como máximo $2*\sqrt{n}$ divisores. Esto debería permitirte averiguar el límite superior de cualquier número con un determinado cociente. (y esto también te dice que el cociente, aunque puede subir o bajar de un número a otro, en general bajará)

Por ejemplo, para una relación de $\frac{1}{2}$ se tiene un límite superior de 16, ya que para $n > 16$ , $n$ tiene menos de $n/2$ divisores.

Si se prueban algunos números, se ve así que el 12 será el último con una proporción de $\frac{1}{2}$ o más

Answer 2

Si $n = \prod p_i^{m_i}$ entonces $\tau (n) = \prod (m_i + 1)$

Así que queremos $\frac {\tau(n)}{n} = \frac{\prod(m_i + 1)}{\prod p_i^{m_i}}$

Los valores reales de los factores primos son irrelevantes para el número de divisores, por lo que para obtener un cociente alto queremos que los primos sean lo más pequeños posible. Así que $p_i$ debe ser el $i$ - el primer lugar. $p_1=2;p_2 = 3;p_3 = 5; etc.$ .

Que $p_i$ se elevan a qué potencia $m_i$ es irrelevante, por lo que para obtener una relación alta queremos que las potencias altas vayan a los primos más bajos, así que $m_1 \ge m_2 \ge m_3 ....$ .

Y, obviamente, a medida que tomamos poderes superiores $m_i$ la relación de $\frac {m_i + 1}{p_i^{m_i}}$ va a disminuir radicalmente.

Eso no es muy preciso, pero da un buen marco de trabajo. Para $n = p^m$ la proporción más alta será $n=2^m$ y la relación es $(m+1)/2^m$ por lo que para $n = 2,4,8,16... $ tenemos que la relación es $2/2=1,3/4,4/8 = 1/2,5/16, 6/32...$ etc.

Para $n = p^mq^k$ la proporción más alta será $n = 2^{m+a}3^m$ y la relación es $m(m+a)/2^{m+a}3^m$ . Así que para $n = 6;12; 36;24;72;216 etc$ la relación es $\frac 46;\frac 6{12};\frac 9{36}$ etc.

Para no tener tres factores primos tenemos $n = 2*3*5; 2^2*3*5;2^2*3^2*5;2^3*3*5$ produce ratios de $\frac {8}{30};\frac{12}{60}; \frac{18}{180};\frac{16}{120} etc.$

Vale, no es preciso, pero está claro que esos son los ratios más altos.

$\tau(n) = 1$ sólo si $n = 2$ ; $\tau(n) = 3/4$ sólo si $n = 4$ ; $\tau(n)=2/3$ sólo si $n = 6$ y $\tau(n)=1/2$ sólo si $n =8,12$ .

Answer 3

Bueno, no sé si existe un número tan grande o no, pero puedo hacer una suposición de cómo podemos conseguirlo.

El número de divisores de un número $n$ cuya factorización primaria es $p_1^{a_1}.p_2^{a_2}......p_n^{a_n}$ son $(a_1+1).(a_2+1).(a_3+1).....(a_n+1)$ .

Para obtener el mayor cociente, tenemos que seleccionar los números primos más pequeños. Además, tenemos que manipular todos los $a_i$ de tal manera que el número de factores sea máximo.