Muestre que si$a\neq b$, entonces tenemos para el$n\times n$ - matriz$\textrm{det}=\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}$.

Question

El Problema

Mostrar que si $a\neq b$, luego tenemos a de la $n\times n$-matriz $$\textrm{det}\begin{pmatrix} a+b & ab & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 1 & a+b & ab & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a+b & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & a+b & ab \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & a+b\end{pmatrix} =\frac{a^{n+1} b^{n+1}}{a-b}$$ Lo que si $a=b$?

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Mis Preguntas

No estoy del todo seguro de cómo empezar esta prueba. Sospecho que me estoy perdiendo algo que hace que sea bastante simple. He intentado buscar por problemas similares, y me di cuenta de un tema común, el uso de la hilera de las operaciones de reescritura de la matriz, de la que el factor determinante fue encontrado. Sin embargo, yo todavía no entiendo muchos de los intermedios de los cálculos cuando se llegó a encontrar el determinante. Mis preguntas son las siguientes.

1. Debo usar la fila de las operaciones de reescritura de esta matriz? Si es así, ¿cuál sería un ejemplo de cómo sería computacionalmente?
2. En cualquier caso, ¿cómo debería en realidad calcular el determinante para demostrar que la afirmación es verdadera? Hay un algoritmo que es útil aquí?
3. Me di cuenta por la pregunta de seguimiento que, si $a=b$, $$\textrm{det}\begin{pmatrix} a+a & aa & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 1 & a+a & aa & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a+a & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & a+a & aa \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & a+a\end{pmatrix}.$$ Estoy bien en mi forma de pensar no?

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Otros Detalles

El libro utilizado en el curso es el Resumen de Álgebra Lineal por Curtis. Que ha sido de poca ayuda para mí aquí...

Answer 1

Vamos a llamar a $A_n$ la matriz para el que desea calcular el determinante y echar un vistazo de cómo puede ser construido de forma iterativa : $$ A_{n+1} = \begin{pmatrix} a+b & ab & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 1 & a+b & ab & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a+b & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & a+b & ab \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & a+b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_n & \begin{matrix} 0 \\ \cdots \\ 0 \\ ab \end{de la matriz} \\ \begin{matrix} 0 & \cdots & 0 & 1 \end{de la matriz} & a+b \end{pmatrix} $$

Dicho esquema de gritos de inducción para calcular el determinante $D_n = \det(A_n)$ . Así que vamos a ver lo que está sucediendo para $n=1$. Tenemos $A_1 = (a+b)$$D_1 = a+b$$D_1 \cdot (a-b) = a^2 - b^2 $.

Ahora bien, si suponemos que la fórmula es cierto hasta un entero $n$, podemos demostrar que también es cierto para $n+1$ ?

Podemos utilizar Laplace explansion aplicada a la última columna, nos encontramos con que: $$ D_{n+1} = (a+b)\cdot D_n - ab \cdot D_{n-1}$$

Por lo tanto: $$ \begin{align} (a-b)\cdot D_{n+1} & = (a+b)\cdot (a-b) D_n - ab \cdot(a-b) D_{n-1} \\ & = (a+b)\cdot( a^{n+1} - b^{n+1} ) - ab \cdot( a^{n} - b^{n} ) \\ & = a^{n+2}- ab^{n+1} + ba^{n+1} - b^{n+2} - ba^{n+1}+ ab^{n+1} \\ & = a^{n+2}- b^{n+2}\\ \end{align} $$

Y hemos terminado la primera pregunta.

La segunda pregunta es ¿qué sucede si $a=b$. Está claro que no podemos aplicar la fórmula de arriba, ya que es sólo válida para $a \ne b $. Pero podemos tomar $b$ tan cerca como queremos como $a$, vamos a decir $b_k = a + \frac{1}{k}$. Ahora podemos aplicar el resultado anterior, lo que significa que para todos los enteros positivos $k$: $$ \det \begin{pmatrix} a+(a + \frac{1}{k}) & a(a + \frac{1}{k}) & \ldots & 0 & 0 \\ 1 & a+(a + \frac{1}{k}) & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & \ldots & a+(a + \frac{1}{k}) & a(a + \frac{1}{k}) \\ 0 & 0 & \ldots & 1 & a+(a + \frac{1}{k})\end{pmatrix} = \frac{\left(a + \frac{1}{k}\right)^n - a^n}{ \frac{1}{k} } $$

Para concluir, se puede utilizar la continuidad de la determinante y tomar el límite en ambos lados como $k \to \infty $. A la izquierda tienen el determinante de la matriz $A_n$ $a=b$ y en el derecho que tiene la derivada de la función $ x \mapsto x^n $$x=a$,$n a^{n-1}$.

Answer 2

Deje $L=\pmatrix{1\\ 1&\ddots\\ &\ddots&\ddots\\ &&1&1}$ y el tratamiento de $a$ $b$ como dos indeterminates. A continuación, la matriz en cuestión es igual a $A=D^{-1}(aL+bL^T)D$ donde $D=\operatorname{diag}(1,a,a^2,\ldots,a^{n-1})$. Desde $\det L=1$, obtenemos \begin{align} \det A&=\det(aL+bL^T) =\det\left(aI+bL^TL^{-1}\right)\\ &=(-b)^n\det\left(-\frac abI-L^TL^{-1}\right) =(-b)^nf\left(-\frac ab\right),\tag{1} \end{align} donde $f(x)$ es el polinomio característico de a $L^TL^{-1}$. Ahora, si se calculan $L^TL^{-1}$ directamente, verá que es la transpuesta de un compañero de la matriz. Por lo tanto, usted puede leer los coeficientes de $f$ directamente desde las entradas de $L^TL^{-1}$. A continuación, el uso de $(1)$, usted debe encontrar que $$ \det a=(a-b)^nf(-a/b)=a^n+a^{n-1}b+\cdots+ab^{n-1}+b^n.\la etiqueta{2} $$ Ahora el resto es sencillo cuando el indeterminates $a,b$ están especializados para dos números.