Esto es un argumento válido para un prime siempre se encontraron entre $p_n$y $2p_n$ cuando $p_n > 25$

Question

Recientemente me llegó un argumento para un subconjunto de Bertrand Postulado de que no he visto en ninguna otra parte. Tal vez, no es válido. Es muy corto. Por favor, hágamelo saber si he cometido un error.

(1) Vamos a $p_n > 50$ $n$th prime.

(2) Vamos a $p_n -c$, el mayor entero que es divisible por $6$ y menos de $p_n$, de modo que $c$ es $1, 3,$ o $5$

(3) Deje $S$ ser el conjunto de todos los enteros $x$ tal que $p_n < x < 2p_n$ $\gcd(x,p_n-c)=1$

(4) Permitir que los $U \subseteq S$ el conjunto de los números enteros $x$ tal que $x \in S$ pero $x$ no es un número primo. Deje $u$ el número de elementos en $U$.

(5) Todos $x$ $U$ debe tener por lo menos un factor primo $q$ tal que $5 \le q < \sqrt{2p_n}$.

(6) En todos los casos, $5 < \frac{x}{q} < p_n$, de modo que $p_n < p_n - c + \frac{x}{q} < 2p_n$$\gcd(p_n-c+\frac{x}{q},p_n-c)=1$, por Lo que, para ser claros, para cada una de las $u$ no de los números primos, hay $u$ enteros de la forma $\frac{x}{q}$ donde $p_n-c + \frac{x}{q}$ entre $p_n$ $2p_n$ $(p_n-c + \frac{x}{q})$ es relativamente primer a $p_n-c$.

(7) Desde $p_n < p_n -c + p_n < 2p_n$, tenemos la interesante situación donde hay $u$ elementos de $S$ que no son primos, pero al menos $u+1$ elementos en $S$. Así, un número entre el $p_n$ $2p_n$ debe ser un primo.

(8) Para ser claros, el $u+1$ se compone de la $u$ enteros de la forma $(p_n-c + \frac{x}{q})$ e las $1$ entero de la forma $(p_n-c + p_n)$. Todos los $u+1$ son relativamente primos $p_n-c$ y todos los $u+1$ entre $p_n$$2p_n$, pero sólo $u$ no son números primos.

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Edit: he hecho un cambio en el paso #1 en respuesta a un comentario por coffeemath.

Gracias, Coffeemath!

En orden para $5 < \frac{x}{q} < p_n$, es necesario que el $p_n > 50$

Con esta corrección, $\frac{p_n}{\sqrt{2p_n}} < \frac{x}{q} < p_n$ y el:

$\frac{\sqrt{p_n}}{\sqrt{2}} > \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 5$

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Edit 2: se ha Añadido el paso (8) en un intento de hacer que el $u+1$ e las $u$ recuento mucho más clara.

He hecho este cambio en la respuesta a las preguntas formuladas en los comentarios.

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Edit 3: yo no soy capaz de conseguir más allá de la observación hecha por coffeemath. Estoy aceptando coffeemath la respuesta.

Answer 1

Supongamos $p_n=53>50.$ $c=5$ $p_n-c=48=2^4\cdot 3.$ $S$ se compone de $$55,59,61,65,67,71,73,77,79,83,85,89,91,95,97,101,103.$$ Los elementos de $U$ a partir de la no-primos de esta lista, es decir, $$55,65,77,85,91,95.$$ Dividiendo cada uno por lo menos su primer factor da, respectivamente, $11,13,11,17,13,19.$ Estos son los valores de $x/q$ $x \in U.$ Nota no todos son distintos; dos repeticiones. Cuando a continuación, calcular $p_n-c+x/q$ obtenemos la lista $$59,61,59,65,61,67.$$ De nuevo tenemos nondistinct valores, con $59,61$ allí dos veces cada uno. [también la $65$ no es primo, no sé si ese es el problema...] Las repeticiones parecen significar un doble recuento se ha producido.