Yo podría utilizar un poco de ayuda en el cálculo de este infinito suma: $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{1-16k^2}$. Incluye era que yo tenía que empezar con una serie de Fourier para la función de $f:\Re \to \Re: x \mapsto \sin(x)$$x\in[0, \frac{\pi}{2}[$, así que vamos a empezar con eso.
Vamos \begin{eqnarray*} g(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty}a_k\cos(4kx) + \sum_{k=1}^{\infty}b_k\sin(4kx). \end{eqnarray*} Esta es la serie de Fourier para $f$. Con $a_k = \frac{4}{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin(x)\cos(4kx)dx$$b_k = \frac{4}{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin(x)\sin(4kx)dx$. La solución de este conduce a (o, al menos, he encontrado que): $a_k = \frac{4}{(1-16k^2)\pi}$, $b_k = \frac{16k}{(1-16k^2)\pi}$ para$k\geq1$$a_0 = \frac{4}{\pi}$. Traer esto a $g(x)$ le da: \begin{eqnarray*} g(x) = \frac{2}{\pi} + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{4}{(1-16k^2)\pi}\cos(4kx) + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{16k}{(1-16k^2)\pi}\sin(4kx). \end{eqnarray*} Desde $f(x) \approx g(x)$, podemos decir que el $f(0) = g(0)$. Tenemos \begin{eqnarray*} \sin(0) = \frac{2}{\pi} + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{4}{(1-16k^2)\pi}\cos(0) + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{16k}{(1-16k^2)\pi}\sin(0), \end{eqnarray*} esto se convierte en \begin{eqnarray*} 0 = \frac{2}{\pi} + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{4}{(1-16k^2)\pi}. \end{eqnarray*} Tenemos \begin{eqnarray*} \frac{-2}{\pi} = \frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{1-16k^2} \end{eqnarray*} así \begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{1-16k^2} = \frac{-1}{2}. \end{eqnarray*} Tenemos la suma de k = 0. El plazo $\frac{1}{1-16k^2}$ k = 0 da 1, por lo tanto, añadir 1 a ambos lados. Esto lleva a que mi solución \begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{1-16k^2} = \frac{1}{2}. \end{eqnarray*}
Sin embargo, cuando se acercan a esta suma numérica y el uso de Wolfram, me parece que la suma debe ser $\frac{4+\pi}{8}$. Podría algún tipo de ayuda y el punto donde me fue mal con mi enfoque? Gracias de antemano
