Propiedad universal de imágenes en teoría de la categoría

Question

Deje $\mathcal{A}$ ser un aditivo de categoría con todos los kernels y cokernels y $f:A\to B$ una de morfismos. Si $e:B\to \text{coker}(f)$ es la canónica epimorphism, definir $\text{im}(f):=\ker(e)$, con un canónica monomorphism $i:\text{im}(f)\to B$. Probar que:

$1)$ Hay un único, $\pi:A\to\text{im}(f)$ tal que $i\circ\pi=f$

$2)$ Si hay monomorphism $i':C\to B$ y un morfismos $\pi':A\to C$ tal que $i'\circ\pi'=f$, entonces no hay una única morfismos $\mu:\text{im}(f)\to C$ tal que $\mu\circ\pi=\pi'$$i'\circ\mu=i$.

Para la parte $1)$, he utilizado el hecho de que $e\circ f=0$ (por la definición de $\text{coker(f)}$), así también por la característica universal de $\ker(e)$, no hay una única $\pi$ tal que $i\circ\pi=f$

Para $2)$, he demostrado que si hay otro $\mu'$ con estas propiedades, a continuación, $i'\circ \mu=i=i'\circ \mu'$ y, desde $i'$ es un monomorphism, a continuación,$\mu'=\mu$, lo $\mu$ es único. Además, asumiendo $i'\circ\mu=i$, obtenemos $i'\circ\mu\circ\pi=i\circ\pi=f=i'\circ\pi'$ y, desde $i'$ es un monomorphism, $\mu\circ\pi=\pi'$, lo que significa que sólo necesita encontrar a $\mu$$i'\circ\mu=i$. Aquí es donde estoy atascado, porque no sé cómo venir para arriba con una flecha $\textit{leaving }\text{im}(f)$, ya que la característica universal de $\ker(e)$ sólo puede dar una flecha $\textit{arriving}$.

Answer 1

Esto no es cierto en general. Por ejemplo, supongamos $\mathcal{A}$ ser la categoría de torsión libre de abelian grupos. Esta es una categoría de aditivo con los núcleos y cokernels (para formar un cokernel, en primer lugar tomar la cokernel en $Ab$ y, a continuación, mod de la torsión de los subgrupos). Ahora, considere el mapa de $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ dado por la multiplicación por $2$. El cokernel de $f$$0$, por lo que la imagen de $f$ es la identidad de $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$. Pero tomando las $i'=f$ y $\pi'=1$, $i'$ es un monomorphism, $i'\circ\pi'=f$, pero $i=1$ no es un factor a través de $i'$.