Actualmente estoy aprendiendo los fundamentos de la geometría de Riemann. Las notas del curso se basan en Do Carmo del libro. Se presenta un gran número de objetos sin ningún tipo de motivación o de la intuición. También en internet no encuentro ninguna decente referencias explicando las cosas que necesito (el mejor que he encontrado es, probablemente, el libro de Lee: Una introducción a la curvatura). A continuación presento una lista de algunas de mis preguntas, espero que también ayudarán a otros estudiantes con el mismo problema que yo.
Las siguientes preguntas se basan en las ecuaciones de Gauss, Codazzi y Ricci:
$\textbf{1)}$ ¿Cuál es la motivación que Gauss, Codazzi y Ricci tenía al derivar sus fórmulas? Por qué, precisamente, buscar en los objetos que aparecen en estas ecuaciones? A primera vista parece a mí que muchas otras relaciones que pudieran derivarse. Lo que hace que estas ecuaciones son tan especiales?
$\textbf{2)}$ ¿Cuál es el significado de $[A_{\xi}, A_{\eta}] =A_{\xi}A_{\eta} - A_{\eta}A_{\xi}$? Donde $A_{\eta}$ es la forma del operador en la dirección del vector normal $\eta$.
$\textbf{3)}$ Si tenemos una inmersión $f:M^n \rightarrow \overline{M}^{n+1}$ y denotan por $\nabla^{\perp}_X Y$ la conexión normal. En la página 135 de Do Carmo del libro que comienza con la investigación de las propiedades de $\nabla^{\perp}_X \eta$ donde $\eta$ un vector normal de campo a lo largo de $M$. Para superficies regulares $M$$\mathbb{R}^3$, esta parte normal es cero ya que la imagen de la diferencial de la normal del mapa se encuentra completamente en el espacio de la tangente de $M$. Entonces, ¿qué información estamos esperando en el estudio de este objeto?
$\textbf{4)}$ Lo hace de la curvatura normal $$R^{\perp}(X,Y) \xi = \nabla^{\perp}_X \nabla^{\perp}_Y \xi - \nabla^{\perp}_Y \nabla^{\perp}_X \xi-\nabla^{\perp}_{[X,Y]} \xi$$ la medida, ¿cuál es la motivación para la introducción?
Gracias de antemano.
