Cómo aprender de las pruebas?

Question

Recientemente he terminado mi licenciatura de 4 años de estudios en matemáticas. Durante los cuatro años, he conocido a todo tipo de pruebas. Algunos de ellos son amistosos: se muestra una habilidad básica en un campo o dará una mejor comprensión de los conceptos y teoremas.

Sin embargo, hay muchas pruebas que no parece tan fácil: la única sensación después de leer ellos es "¿cómo puede uno llegar a eso", "¿cómo puede una larga prueba de ser construido" o "¿por qué se ve tan confuso". Lo que es peor, la mayoría de estas pruebas duras son de esos importantes o famosos teoremas. Todo lo que puedo hacer con estas duras pruebas está trabajando duro en los recitaba, les olvido después de los exámenes y aprender nada de ellos. Que me hace sentir muy frustrado.

Después de no encontrar la metodología detrás de esas pruebas, pensé, "OK, me pueden aplicar la misma habilidad a otros problemas." Pero de nuevo, yo no. Esas habilidades se ven tan complicado y a veces se ven un problema específico. Y hay tantos de ellos. Yo no sé cuándo se aplica. También, yo simplemente no puedo recordar a todos ellos.

Así que mi pregunta es: Cómo aprender de esas duras pruebas? ¿Qué podemos aprender de ellos? Lo que si la habilidad es el problema específico? (Cómo encontrar la metodología detrás de ellos?)

Necesito su asesora. Gracias!

P. S. Threre son un montón de ejemplos. I lista sólo cuatro abajo.
La prueba del Teorema de Sylow en Álgebra
Prueba de Theroem 3.4 en Stein Análisis Real.

Teorema 3.4 Si $F$ es de variación acotada en $[a,b]$, $F$ es derivable en casi todas partes.

Prueba de Schauder teorema de punto fijo en el análisis funcional.
Prueba de asignación abierta teorema en el análisis funcional.

Answer 1

Una cosa importante acerca de las pruebas es que usted nunca será capaz de apreciar, y por lo tanto para aprender de ellos, si no son capaces de leer la declaración para ser probado con una actitud escéptica, y tratar de imaginar que es falsa (¿Qué es esa tontería de que están reclamando, no puede ser verdad! Sin duda debe ser posible satisfacer la hipótesis, sin someter a la obligación de aceptar la conclusión!). Una vez que usted tiene cierta idea mental de lo que es un contraejemplo a la declaración de la vería, se puede interpretar la prueba como un argumento que sistemáticamente habla de esta idea de la cabeza, y los convence de que lo que realmente realmente no es posible ponerse de acuerdo con un contraejemplo. A continuación, usted habrá adquirido una sensación de lo que la prueba es realmente, y que será mucho más probable que los retienen, y con argumentos similares cuando usted necesita para probar algo por sí mismo. Pero si usted toma una actitud dócil y aceptar la afirmación de que ser demostrado desde el inicio, usted nunca será capaz de entender lo que todo este razonamiento fue necesario en primer lugar.

Answer 2

Las complicadas pruebas generalmente no surgen de la nada. Las personas no nacen con las pruebas de la misma forma en que escribe. Ellos ven a los objetos y observar sus propiedades, hasta que se vea más y más, y luego tratan de alguna manera de atrapar la esencia de su observación, y las razones para ello: que es un teorema y su prueba.

Los pasos de la prueba a menudo el flujo natural de las observaciones que motivan el teorema de sí mismo. Usted debe notar que complicado pruebas suelen utilizar muchas de las herramientas y los lemas que, aunque a menudo no es muy general, los mismos son de interés. No creo que muchos matemáticos no se ocupan de la geometría o de la teoría de grupo sería fácilmente una prueba de Sylow del teorema sin saberlo de antemano (o incluso la formulación exacta).

Los principios generales, las ideas utilizadas en los teoremas tienden a ser relativamente simple, y las pruebas que provienen de la aplicación y la combinación de ellos en el camino correcto. Lo que puede obtener de una prueba (más allá del teorema de sí mismo) es la intuición para decirle las maneras de hacer estas cosas.

Si desea obtener más información, usted debe tratar de demostrar el teorema de sí mismo, tal vez utilizando la prueba como una fuente de sugerencias, en lugar de la totalidad de la solución. Cuando usted puede ver exactamente lo que las dificultades están ahí, usted podrá apreciar el trabajo realizado por el autor de la prueba y ver por qué usted debe hacer algunas cosas y no en los demás. O tal vez usted va a venir con una prueba totalmente diferente, en cuyo caso se podrán ver dos maneras de ver el mismo problema, que también puede ser bastante esclarecedor.

Pero no se puede esperar a ser capaz de llegar a todo tipo de pruebas duras. Duras pruebas tómese el tiempo para desarrollar. Un ejemplo radical sería la clasificación teorema para finitos simples grupos (un poco de historia en la Wikipedia).

Answer 3

Muy a menudo hay la intuición será quitado de un resultado aun cuando la prueba es completamente opaco. No estoy seguro de que las pruebas de los teoremas de Sylow que he visto, pero voy a ilustrar con la prueba del primer teorema de Sylow que me encontró por primera vez;

• Si $p^k$ divide $|G|$ $G$ tiene un subgrupo de orden $p^k$.

La prueba de que he encontrado la primera es la de la Wikipedia, deje $G$ ley sobre subconjuntos de a $G$ del tamaño de la $p^k$ (a la izquierda o a la derecha) multiplicación y, a continuación, el estabilizador de un subconjunto es un subgrupo de orden $p^k$.

Es quizá fácil decir "Bueno, esto es unenlightening, todos los que hemos hecho es que el cálculo directo." Pero creo que esto es interesante en sí mismo; lo que me llevó lejos de esta prueba es su simplicidad. La más difícil de la idea de aplicar aquí es el de la órbita estabilizador teorema, pero lo que nos da es una gran restricción en la estructura de todos los grupos finitos. Ella sugiere algo muy fundamental que está pasando.

Si vez que se te acaba de preguntar "¿Qué puedo aprender de esta prueba, que puedo tomar y aplicar a otras pruebas en teoría de grupos finitos?", entonces la respuesta es: Muchos de los resultados son primarias (incluso si son un poco más de tiempo para probar), y que si usted viene a través de una interesante pregunta relacionada con la estructura de subgrupos, no debe dar de inmediato en la solución con técnicas básicas solos.

También podemos interpretar la prueba simple como un indicio de que (la prime-factorización de) el orden de un grupo finito muy fuertemente los controles de su estructura. Y, de hecho, este resulta ser el caso, por ejemplo, así como los otros dos teoremas de Sylow, que nos permiten clasificar un gran número de grupos (por ejemplo, las de orden $pq$), obtenemos Burnside $p^{a}q^{b}$ y Teorema de la Feit-Thompson Teorema, que nos dicen que todo grupo de orden $p^{a}q^{b}$ para los números primos $p$, $q$, y cada grupo de orden impar es soluble. Así que incluso si usted encuentra que la prueba del primer teorema de Sylow ineficiente, definitivamente hay un montón de intuición para ser quitado de en el resultado de la misma, la cual puede ser aplicada a otras pruebas.

Answer 4

Me gusta su caracterización de amistoso de pruebas-- muchas de las pruebas escritas hacer provee una visión o perspectiva útil que iluminará su estudio de que todo el campo de las matemáticas; o que demuestran una técnica que va a utilizar una y otra vez en diferentes formas.

Yo diría que el largo, complejo, desordenado pruebas que usted está preguntando acerca de la no son tan diferentes de estos simpáticos pruebas-sólo se necesita mucho más esfuerzo y la familiaridad antes de que se puede considerar viejos amigos.

Los matemáticos que utilizar esas ideas con frecuencia realmente en posesión de tales pruebas en sus cabezas, al menos en forma de esquema, y que puede seleccionar o cambiar la disposición de los pasos clave para atacar a nuevos problemas. Me parece que esto es cierto incluso en las fronteras de la investigación-- los expertos pueden tomar un papel que habría desconcertado a casi todos sus compañeros y rápidamente identificar las ideas clave en las páginas 2 y 13, puede pasar más de la rutina, pero desordenado cálculos que llenar el 10 páginas en el medio, y puede identificar algunos problemas abiertos que podrían ser atacados con las nuevas ideas.

Esto no significa que usted necesita para llegar a esta familiaridad con todas las difíciles pruebas que encuentro. Los teoremas de Sylow son herramientas básicas en álgebra, pero me imagino que muchos matemáticos que no los uso, no recuerdo las pruebas. El esfuerzo que has dedicado a aprender desordenado de las pruebas de la primera vez es todavía vale la pena-usted tiene por lo menos un poco de sentido de lo que hay, y como se puede ver algunas de estas pruebas y las ideas de nuevo, van a venir a usted más rápidamente y se sentirá más y más, como viejos amigos.