¿Lo que ' s especiales sobre el máximo común divisor de a + b y a - b?

Question

Problema:

Demostrar eso si MCD (a, b) = 1, entonces MCD (a - b, a + b) es 1 o 2.

Del teorema de Bezout, veo que soy + bn = 1 y a, b son primos relativos. Sin embargo, no he podido encontrar una forma de vincular esta idea a - b y a + b. Me di cuenta que para que el MCD (a, b) = 1, no deben ser ambos incluso. Jugaba con algunos ejemplos (13, 17),.. .y lo vi es verdad :(! ¿Alguna idea?

Gracias,
Chan

Answer 1

El mcd de a $x$ $y$ divide cualquier combinación lineal de $x$$y$. Y cualquier número que divide $r$ $s$ divide el mcd de a$r$$s$.

Si usted agregue$a+b$$a-b$, consigue <blank>, lo $\mathrm{gcd}(a+b,a-b)$ divide <blank>.

Si usted resta $a-b$$a+b$, consigue <blankity>, lo $\mathrm{gcd}(a+b,a-b)$ divide <blankity>.

Por lo $\mathrm{gcd}(a+b,a-b)$ divide $\mathrm{gcd}($<blank>,<blankity>$) = $<blankety-blank>.

(Para la buena medida, suponiendo que el resultado es cierto que usted querrá venir con ejemplos donde te $1$ y ejemplos donde te $2$, sólo para convencerse de que la declaración de que usted está tratando de demostrar que es el mejor que usted puede hacer).

Answer 2

Tenga en cuenta que $d|(a-b)$ y $d|(a+b)$ donde $d = \gcd(a-b, a+b)$. Así $d$ divide la suma y la diferencia (es decir, $2a$ y $2b$).

Answer 3

% Toque $\rm\quad a-b\ +\ (a+b)\ i\ =\ (1+i)\ (a+b\ i)\ \ $proporciona una mancha prueba usando números enteros Gaussian. Esto revela la esencia de la aritmética de la materia y, por lo tanto, sugiere generalizaciones obvias.