Segundo orden la ecuación diferencial con un coeficiente de la variable. Mostrar | f (x) | es limitado.

Question

Fue dada esta pregunta como crédito extra en una ODA examen. No tenía tiempo durante el examen a considerar, pero yo desde luego, y estoy perplejo.

$$ f''(x) + f(x) = -f'(x)x^{2015}$$

$f(x)$ es dos veces diferenciable y continua en todas partes. Mostrar que $|f(x)| < M $ de $M$. Sugerencia: calcular la derivada de $f'(x)^2 + f(x)^2$.
Esto lo escribí de memoria, y espero su correcto o he de esperar un poco de tiempo tratando de averiguar eso. Como por la sugerencia, me calcular la derivada y se encontró que $$ \frac{d}{dx}[f'(x)^2 + f(x)^2] = 2f''(x)f'(x) + 2f'(x)f(x) = 2f'(x)[f(x) + f''(x)] $$ Así, que serían $2f'(x)$ multiplicado por el lado izquierdo de la ecuación diferencial. En otras palabras, si multiplicamos por $2f'(x)$, tenemos $$ \frac{d}{dx}[f'(x)^2 + f(x)^2] = -f'(x)x^{2015}*(2f'(x)) $$ $$ \frac{d}{dx}[f'(x)^2 + f(x)^2] = -2f'(x)^2x^{2015} $$

Yo no logran producir nada fructífero desde aquí. Traté de integrar ambos lados, pero no podía resolver o sacar conclusiones de la mano derecha. He intentado aislar $x^{2015}$ y, a continuación, integrar, pero yo no podía resolver la mano izquierda integral. En este punto, yo estaba muy confundido y probado un montón de otras ideas. Traté de resolver el sistema homogéneo, fue en vano. Luego hubo un divertido intento de crear un sistema de primer orden ecuaciones que me dejó con una, como era de esperar, no constante de la matriz de coeficientes. En ese momento, me decidí a paso y pedir un poco de ayuda. Estoy yendo en la dirección correcta con cualquiera de estos intentos? Si le ayuda, se supone que esta es sólo requieren conocimientos de cálculo, así que estoy seguro de que la clave se encuentra por encima de, sobre todo teniendo en cuenta la sugerencia, pero no estoy seguro de por dónde continuar. Soluciones y sugerencias igualmente apreciado!

EDIT: Olvidé mencionar, $f(x)$ es dos veces diferenciable y continua en todas partes. Se incluyen en la parte superior.

Actualización: Centrado en estudiar para los exámenes finales, pero voy a volver a este! Todavía perplejo.

Answer 1

Lo que usted ha escrito hasta el momento le dice que el no-negativos, en función derivable $$ u(x) = f'(x)^2 + f(x)^2 $$

satisface $u'(x) = -f'(x)^2x^{2015}$, de modo que $u'(0) = 0$, $u'(x) \leq 0$ para $x > 0$ $u'(x) \geq 0$ $x < 0$ (y, además, es claro que $f(x)^2 \leq u(x)$).

Para algunos la intuición, se puede interpretar esto como un sistema de masa-resorte, cambio$x$$t$, y escribir esto

$$ f" = -f - f t^{2015}. $$

En el lado izquierdo, usted tiene la fuerza total, a la derecha, al contrario de los desplazamientos (por lo que este la habitual fuerza de restauración en la primavera) y, a continuación, una fuerza que, por $t > 0$, tiene el signo opuesto de $f'$, por lo que es una fuerza de amortiguación.

La cantidad sugerida en la pista, $u(x)$ es el total de la energía potencial y cinética en el sistema, y tiene sentido que una fuerza de amortiguación podría disminuir la energía total $t \geq 0$ (y por tanto la energía potencial y el desplazamiento son acotados).

Se puede comprobar que este sistema es simétrica en el tiempo (es decir, $g(t) = f(-t)$ satisface la misma ecuación diferencial) para obtener el mismo propiedades de $t \leq 0$.