¿Es un subconjunto cerrado de puntos aislados en un conjunto compacto necesariamente finito?

Question

Si tengo un conjunto compacto $A$ y un subconjunto cerrado $\Sigma \subset A$ que sólo contiene puntos aislados (es decir, ninguno de ellos es un punto límite). ¿La compacidad de $A$ entonces forzar $\Sigma$ para tener una cardinalidad finita?

He aquí mi intento de demostrar que la pregunta anterior puede responderse positivamente:

Supongamos por contradicción que $\Sigma$ contiene infinitos puntos distintos.

EDITAR : Entonces podemos construir una secuencia de puntos en $\Sigma$ que se compone de puntos distintos.

Por la compacidad de A, esta secuencia debe tener una subsecuencia convergente, y por el hecho de que $\Sigma$ es cerrado, este límite se encuentra en $\Sigma$ . Pero entonces no puede ser un punto límite, porque todos los puntos en $\Sigma$ están aislados. Así que la subsecuencia debe ser eventualmente constante e igual al límite, contrariamente a la construcción de la secuencia.

¿Es correcto el razonamiento anterior? Si no, ¿qué ha fallado?

Answer 1

Lo que has hecho parece correcto si puedes demostrar que efectivamente puedes extraer una subsecuencia convergente. De hecho, no necesitas hacerlo por contradicción: para cada $x\in \Sigma$ , elige $U_x$ un barrio abierto que no cumple con ningún punto de $\Sigma$ excepto $x$ . Entonces $\{U_x\}_{x\in\Sigma}$ es una cubierta abierta de $\Sigma$ , que es compacto como conjunto cerrado de un compacto, por lo que se puede extraer una subcubierta finita.

Answer 2

Lo que has hecho no es del todo correcto incluso asumiendo que estás trabajando en un primer espacio contable, por lo que la compacidad es equivalente a la compacidad secuencial. Suponiendo que $\Sigma$ es infinito para conseguir una contradicción está bien (aunque sea innecesario), pero eso no hace $\Sigma$ una secuencia: no tiene ordenación, e incluso puede ser incontable. Sin embargo, si $\Sigma$ es infinito debe haber una secuencia $\langle x_n:n\in\Bbb N\rangle$ de puntos distintos de $\Sigma$ . Entonces esta secuencia debe tener una subsecuencia convergente, y su argumento pasa por ahí. Es un punto pequeño, pero es una buena idea acostumbrarse a la precisión para no confundirse cuando las cosas se complican.

Answer 3

La compacidad no significa que las secuencias tengan subsecuencias convergentes en un espacio topológico general. Ver compacidad secuencial en Wikipedia.

Sin embargo, su afirmación sigue siendo cierta. Sólo hay que ceñirse más a la definición de compacidad.