¿Por qué la Gamma la función de completar la Riemann Zeta función?

Question

La definición de $$\xi(s) := \pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)$$ yields $\xi(s) = \xi(1 - s)$ (where $\zeta$ es la de Riemann Zeta función).

¿Hay alguna explicación conceptual - o de la intuición, incluso si no se puede hacer en una prueba de esto? Por qué de todas las funciones se hace necesario poner el Gamma-función de allí?

Quien lo hizo primero probablemente había alguna razón para probar la Gamma-función. ¿Qué era?

(El mejor de los casos) Es que hay algunos uniforme de la producción de un factor de una norma sobre los racionales que los rendimientos de los otros factores para el p-ádico de las normas y el factor de Gamma para el valor absoluto?

Answer 1

Una manera de comenzar es buscar en la integral de la función gamma: $$\Gamma(s) = \int_0^\infty t^{s-1} e^{-t}\,dt$$ Subsitute $t=nx$ en la integral para llegar a $$\frac{\Gamma(s)}{n^s} = \int_0^\infty e^{-nx}x^{s-1}\,dx$$ que luego se suma para obtener $$\Gamma(s)\zeta(s)=\int_0^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x-1}\,dx$$ que ya muestra que hay alguna conexión entre la gamma y zeta funciones, y no en el hecho de permitir ampliar la definición de la función zeta en la crítica de la tira.

Lo que viene es mucho menos obvio, pero la idea es introducir una rama de corte para $x^{s-1}$ a lo largo del eje real positivo, y para reemplazar la integral anterior por una de $+\infty$ a lo largo de la parte inferior de la real positiva del eje, en torno al origen, y de vuelta a $+\infty$ a lo largo de la parte superior del eje real. Esto introduce un factor adicional $1-e^{2\pi i s}$. Ahora empezar a ampliar el círculo en torno al origen, teniendo en cuenta los polos de el integrando a lo largo del eje imaginario como vamos, y terminar con $$\Gamma(s)\zeta(s)=(2\pi)^{s-1}\Gamma(1-s)\sin(\tfrac12\pi s)\zeta(1-s).$$ A partir de allí, algunos de limpieza de la que aún quedan restos. Como dije, esto no es muy intuitivo, por lo que no responde a su pregunta, pero el primer párrafo debería al menos dar una idea de cómo la gamma y zeta funciones están interrelacionadas.

Answer 2

A mi entender, la respuesta es sí, y de este modo uniforme se compone de algunas de integración en el ámbito local. Esto se explica en Juan Tate tesis doctoral. Uno empieza con una cierta suave descenso rápido de la función, para lo cual se toma la función característica de la p-ádico enteros en la nonarchimedean caso y la función de $e^{-|x|^2}$ de arquímedes campo. Esto es que se multiplican con $|x|^s$ (aproximadamente) y se integran en la medida de Haar de aditivos de grupo de campo. Esto produce la $\Gamma$-factor de arquímedes campo y $(1-p^{-s})^{-1}$ para un p-ádico de campo.

Answer 3

Como se ha explicado anteriormente, la función zeta tiene un factor para cada terminación de $\mathbb{Q}$. El factor de a $\mathbb{R}$ tiene que ver con la integración de $e^{- \pi x^2}$ y el factor de a $\mathbb{Q}_p$ tiene que ver con la integración de la función característica de a $\mathbb{Z}_p$.

Algunas personas podrían preguntarse por qué estas dos funciones fueron elegidos. La respuesta es simple: ellos son sus transformadas de Fourier.

Además, no creo que nadie lo ha recomendado Terry Tao de la exposición post sobre este material todavía. Es bastante bueno.

Answer 4

También puede haber algo de interés en el punto de la "local funcional de la ecuación", es decir, que, de hecho, la función Gamma (con el poder de la $\pi$) es sólo uno (optimizado) la posibilidad, y de alguna manera hacer una opción subóptima en realidad no importa:

Para un Schwartz función de $f$$\mathbb R$, vamos a $\Gamma(f,s)=\int_{\mathbb R^\times} |x|^s\,f(x)\;{dx\over |x|}$. La costumbre Gamma factor se obtiene mediante la toma de una Gaussiana. El local funcional de la ecuación (demostrado mediante el cambio de variables en la definición de las integrales, en el rango de $0<{\rm Re}(s)<1$, es $$\Gamma(f,s)\cdot \Gamma(\hat{g},1-s)\;=\; \Gamma(\hat{f},1-s)\cdot \Gamma(g,s)$$ para cualquiera de los dos Schwartz funciones de $f,g$. Y Riemann argumento demuestra $$ \Gamma(f,s)\cdot \zeta(s) \;=\; \Gamma(\hat{f},1-s)\cdot \zeta(1-s) $$ para cualquier Schwartz $f$.

Answer 5

Quien lo hizo primero, probablemente, tenía alguna razón para probar la Gamma-función. ¿Qué era?

El primero en hacerlo fue, precisamente, Riemann en su famoso (y de 150 años de antigüedad) de papel: Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grosse. Allí los probó el funcional de la ecuación, con el método que Harald se explicó anteriormente.