Número esperado de rollos para obtener todos los colores en el dado de 6 caras de colores con 3 colores

Question

Si tengo una matriz que tiene 3 caras rojas, 2 caras azules y 1 verde, ¿cuántos rollos esperar hasta que cada color ha aparecido al menos una vez?

He ejecutar algunas pruebas y me estoy poniendo números alrededor de 7.31, pero claramente estoy en busca de una solución matemática.

Gracias de antemano.

Answer 1

La etiqueta de los estados posibles del juego de acuerdo a los colores que se han visto previamente. Por lo tanto consideramos que $8$ estados $\{r,b,g\}$ donde cada símbolo puede ser $0$ o $1$ según si el color asociado ha sido visto. Del mismo modo, se denota por a $E[r,b,g]$ el número esperado de la lanza le llevará a acabar desde el estado $\{r,b,g\}$. La respuesta que queremos es $E=E[0,0,0]$. Procederemos por inducción hacia atrás, comenzando con la observación de que $E[1,1,1]=0$.

I. Falta de un solo color. Dicen que estamos en estado de $\{1,1,0\}$, por lo tanto sólo faltan Verde. Tiramos el dado. Terminar si queremos obtener una Verde, la probabilidad de $\frac 16$. Con una probabilidad de $\frac 56$ nos quedamos en el estado $\{1,1,0\}$. Por lo tanto $$E[1,1,0]=\frac 16\times 1+\frac 56\times (E[1,1,0]+1)\implies E[1,1,0]=6$$

Del mismo modo, $$E[1,0,1]=\frac 26\times 1+\frac 46\times (E[1,0,1]+1)\implies E[1,0,1]=3$$ And $$E[0,1,1]=\frac 12\times 1+\frac 12\times (E[0,1,1]+1)\implies E[0,1,1]=2$$

II. Faltan dos colores. Dicen que estamos en estado de $\{1,0,0\}$. Como antes de tirar el dado y ver que $$E[1,0,0]=\frac 26\times (E[1,1,0]+1)+\frac 16\times (E[1,0,1]+1)+\frac 36\times(E[1,0,0]+1)$$ $$=\frac {14}6+\frac {4}6+\frac 36\times(E[1,0,0]+1)\implies E[1,0,0]=7$$

Del mismo modo, obtenemos: $$E[0,1,0]=\frac {26}4\;\;\&\;\;E[0,0,1]=\frac {19}5$$

Finalmente, $$E=E[0,0,0]=\frac 36\times (E[1,0,0]+1)+\frac 26\times (E[0,1,0]+1)+\frac 16\times (E[0,0,1]+1)=7.3$$

Answer 2

Definir $X_r$ a ser el número de veces a tirar a ver sólo un lado rojo. A continuación, $E(X_r) = 2$ (el recíproco de la probabilidad de que un rojo en un tiro) por un resultado estándar.

Del mismo modo definimos $X_b$ para el azul, con $E(X_b) = 3$$X_g$$E(X_g) = 6$.

Ahora definir para cualquiera de los dos colores $X_{i,j}$ el número de veces a tirar a ver los dos colores $i$ $j$ al menos una vez.

A continuación, basándose en las opciones de la primera tirada tenemos

$$X_{r,b} = \frac{1}{2}(1+X_b) + \frac{1}{3}(1+X_r) + \frac{1}{6}(X_{r,b}+1)$$

Podemos tomar la expectativa y substiture los más conocidos:

$$E(X_{r,b}) = \frac{1}{2}\cdot 4 + \frac{1}{3}\cdot 3 + \frac{1}{6}(E(X_{r,b}) + 1)$$

a partir de la cual podemos solucionar $E(X_{r,b})$. Hacer lo mismo para las otras dos combinaciones de 2 colores.

Finalmente, $$E_{x,r,b} = \frac{1}{2}(1+E(X_{b,g})) + \frac{1}{3}(1+E(X_{r,g})) + \frac{1}{6}(1+E(X_{r,b}))$$

donde ahora sabemos que todos los valores en el lado derecho.

Answer 3

Bueno, la idea es simple.

Deje que el primer color que golpear ser $x$ con una probabilidad de $pr(x)$. En su siguiente tiro obtendrá la de un color diferente con una probabilidad de $(1-pr(x))$. La probabilidad de que usted va a golpear el siguiente color será geométricamente distribuidos, por lo que su media de número de lanzamientos se $\frac{1}{1-pr(x)}$.

Entonces, supongamos que el segundo color se $y$ con una probabilidad de $pr(y)$. La probabilidad de que llegará el tercer color se $(1-pr(x) -pr(y))$. De nuevo el número de lanzamientos que se necesita es geométricamente distribuidos. Tal que el número promedio de veces que tendrá que tirar de se $\frac{1}{1-pr(x)-pr(y)}$.

Ahora sólo necesitas utilizar alguna combinación de la teoría para resolver el problema, ya que los colores que usted golpea la primera, segunda y tercera vez, puede tener un orden diferente.

Br, Carl