Prueba de la existencia de un segundo punto fijo en Poincaré ' último teorema geométrico s

Question

En "la Geometría y el Billar", por S. Tabachnikov el autor demuestra de Poincaré del último teorema geométrico:

"Un área de preservación de la transformación de un anillo que se mueve en el límite de los círculos en direcciones opuestas tiene al menos dos puntos fijos."

Él dice que la parte más difícil de la tesis es demostrar la existencia de un punto fijo y que la existencia del segundo punto de la siguiente manera a partir de un estándar topológico argumento que implican característica de Euler.

¿Alguien puede decirme qué este "estándar topológico argumento"?

Answer 1

Dado un automorphism $f:A\to A$ del anillo, podemos definir un campo del vector en $A$ $v(x)=f(x)-x$, con puntos fijos de $f$ corresponden a ceros de $v$. Por el Teorema de Poincare-Hopf, la suma de los índices de los ceros de $v$ debe estar $\chi(A)=0$, $v$ no puede tener sólo uno cero (ya que el índice de cero nunca $0$).