¿Hay algún ejemplo fácil de un dominio integral y dos elementos en él que no tengan un máximo común divisor? Tendrá que ser un dominio no UFD, obviamente.
"Fácil" significa que puedo explicárselo a mis alumnos de grado, aunque estaré encantado con cualquier ejemplo.
Aquí está un ejemplo robado descaradamente de la wikipedia.
Dejemos que $R=\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ , dejemos que $a=4=2*2=(1+\sqrt{-3})(1-\sqrt{-3})$ y $b=2(1+\sqrt{-3})$ . Ahora, $2$ y $1+\sqrt{-3}$ son ambos máximos entre los divisores, pero no son asociados, por lo tanto, no hay GCD.
Como Charles ya ha puesto un ejemplo, me limitaré a mencionar que existe un nombre para los dominios integrales en los que dos elementos cualesquiera distintos de cero tienen un gcd: GCD-Dominios .
Véase también la respuesta de Pete a "Ejemplo de contador para el lema de Gauss sobre polinomios irreducibles .
Merece ser mucho más conocido que DGCs inexistentes (y, del mismo modo, ideales no principales ) surgen inmediatamente de cualquier fallo del Lemma de Euclides, y esto proporciona una forma esclarecedora de ver muchos de los ejemplos estándar. A continuación hay una explicación detallada extraída de uno de mis posts de sci.math.research [2]. Los resultados que aparecen a continuación son válidos en cualquier dominio D.
LEMMA : (a,b) = (ac,bc)/c si (ac,bc) existe
Prueba: d|a,b <=> dc|ac,bc <=> dc|(ac,bc) <=> d|(ac,bc)/c. QED
LEMA DE EUCLID : a|bc y (a,b)=1 => a|c, si (ac,bc) existe
Prueba: a|ac,bc => a|(ac,bc) = (a,b)c = c mediante el lema. QED
Por lo tanto, si a,b,c no satisfacen la implicación del lema de Euclides es decir, si (a,b) = 1 y a|bc, no a|c, entonces uno inmediatamente que el gcd (ac,bc) no existe en D.
Por ejemplo, el ejemplo de David Speyer arriba, y el ejemplo de Khurana en [1] (= Teorema 31 en [0] de Pete L. Clark) son simplemente especializaciones donde a,b,c = p,1+w,1-w en un (sub)anillo de números cuadráticos Z[w], ww = -d.
[0] Clark, Pete. L. Factorización en dominios integrales. 29pp. 2009. http://math.uga.edu/~pete/factorización.pdf
[1] D. Khurana, On GCD and LCM in domains: A Conjecture of Gauss. Resonance 8 (2003), 72-79. http://www.ias.ac.in/resonance/June2003/pdf/June2003Classroom.pdf
[2] sci.math.research, 3/12/09, en busca de comentarios sobre un artículo expositivo sobre la factorización
http://groups.google.com/group/sci.math.research/msg/88343de90a4cf6b7
http://google.com/groups?selm=gparte%24si4%241%40dizzy.math.ohio-state.edu
Debo señalar, hay un montón de ejemplos anillos cerrados integralmente. Por ejemplo:
En $k[a,b,c,d]/(ad-bc)$, no hay GCD de $ad$ y $ab$. (Tenga en cuenta que $a$ y $b$ son ambos divisores comunes).
En $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$, no hay GCD de $6$ y $2 (1+\sqrt{-5})$. (Tenga en cuenta que $2$ y $1+\sqrt{-5}$ son ambos divisores comunes).
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