Hay varias teorías de conjunto, por ejemplo ZFC y NF, que a menudo tienen diferentes axiomas o incluso abiertamente contradictorias. Sin embargo la mayoría de otras ramas de las matemáticas, abstractas por ejemplo álgebra y topología, aunque utilicen el concepto de sistema, puede trabajar en cualquiera de estas teorías. ¿Cómo es esto posible?
¿Por qué no es álgebra abstracta basada en ZFC ser diferente al basado en NF, a pesar de que ambos tienen diferentes axiomas sets?
No es estrictamente cierto que las matemáticas se convierte el mismo en ambas teorías. Por ejemplo, desde NF refuta Elección, y no está claro si algo así como el Ultrafilter Lema es consistente, el Teorema de Completitud de primer orden de la lógica no es conocido por ser comprobable en NF o de cualquiera de sus prórrogas. Hay categorías $\mathcal{C},\mathcal{D}$ que son "pequeños" en el sentido tradicional, sino para que el functor categoría $\mathcal{D}^\mathcal{C}$ no es una exponencial. No cada grupo puede ser el cociente de un grupo libre. Y mudarse a NFU, que puede apoyar la Opción y ampliarse fácilmente para que coincida con ZFC en la consistencia de la fuerza, no soluciona todos estos ejemplos.
Pero tenga en cuenta que hay una teoría llamada KF que es axiomatized por extensionality, vinculación, unión, juego de poder, y un esquema de estratificado $\Delta_0$ separación. KF+"No es un Dedekind conjunto infinito" (los llamaremos "KFI") es muy débil, pero lo suficientemente fuerte como para hablar de una bonita cantidad sorprendente de la aritmética y el análisis. Ahora observe que KFI+"Existe un conjunto universal" es la NF; y KFI+Regularidad+Completa Separación es, más o menos, Zermelo. El hecho de que ambas teorías son extensiones de una teoría común, que es adecuado para una buena cantidad de ordinario las matemáticas debe dejar claro por qué están de acuerdo tan bien en los fundamentos, incluso cuando las extensiones son incompatibles.
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