$A \subseteq \mathbb{R}^n$ cerrado y conectado. $\{x \in \mathbb{R}^n \mid d(x, A) \le \varepsilon\}$ Es conectado por el camino

Question

Me he encontrado con la siguiente pregunta:

Decir $A \subseteq \mathbb{R}^n$ es un conjunto cerrado y conectado. $\{x \in \mathbb{R}^n \mid d(x, A) \le \varepsilon\}$ Es camino-conectado.

No estoy realmente seguro de cómo abordar esta cuestión. Aparece en la sección de compactación.

¡Cualquier ayuda será apreciada!

Answer 1

Sugerencia: Para cualquiera conectado subconjunto (ha) $A$ $\mathbb{R}^n$ el conjunto de $\{x\ | \ d(x,A) < \epsilon\}$ está conectado, ya que es la Unión $\cup_{a\in A} B(a,\epsilon)$, cada bola $B(a,\epsilon)$ está conectado, y también está conectado $A$ (piensa en una espina de pez). Por otra parte, $\{x\ | \ d(x,A) < \epsilon\}$ está abierto, por lo tanto, $\{x\ | \ d(x,A) < \epsilon\}$ $path\ connected$. Conectar cualquier punto $y$ $\{x\ | \ d(x,A) \le \epsilon\}$ con un punto más cercano en $a \in \bar A$, el segmento abierto mitad $(y,a]$ se encuentran en $\{x\ | \ d(x,A) < \epsilon\}$ (esta es la idea de @Omnomnomnom).

Answer 2

Indirecta: % que $S = \{x \in \mathbb{R}^n | d(x, A) \le \varepsilon\}$. Considerar cualquier $x_1,x_2 \in S$. Existen puntos $y_1,y_2 \in A$ tal que $d(x_i,y_i) \leq \epsilon$ $i = 1,2$.

• Muestran que existe un camino de conexión $x_i$ y $y_i$ $i = 1,2$.
• Muestran que existe una ruta de conexión $y_1$ $y_2$
• Concluir que existe una ruta de conexión $x_1$ $x_2$

Para la primera parte, podemos considerar la ruta de acceso $$ x (t) = (1-t) x_i + t y_i, \quad t \in [0,1] $$