Cómo calcular la Integral

Question

Me gustaría saber cómo calcular la siguiente integral (para cualquier número natural $n\geq 0$): %#% $ #% ¿alguien sabe la respuesta final y cómo llegar? ¿Hay un truco? ¡Muchas gracias!

Answer 1

Sugerencia:

$$\int_0^1 dt\: t^{m-1} (1-t)^{n-1} = \frac{\Gamma(m) \Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}$$

Answer 2

$$I=\int_a^b\frac{\sqrt{b-x}^{\,n}}{\sqrt{(b-x)(x-a)}}\,dx$$

$$x=a\cos^2 t+b\sin^2 t:$$

$$\begin{align*}I&=\int_0^{\pi/2}\frac{2(b-a)\cos t\sin t\cdot\sqrt{(b-a)\cos^{2}t}^{\,n}}{\sqrt{(b-a)^2\cos^2 t\sin^2 t}}\,dt\\[7pt]&=2\sqrt{b-a}^{\,n}\int_0^{\pi/2}\cos^{n}t\,dt\\[7pt]&= \left\{ \begin{array}{l l} \pi\sqrt{b-a}^{\,n}\frac{1\cdot 3\cdots (n-1)}{2\cdot 4\cdots n}\quad(n\;\text{even})\\[7pt] 2\sqrt{b-a}^{\,n}\frac{2\cdot 4\cdots (n-1)}{1\cdot 3\cdots n}\quad(n\;\text{odd}) \end{matriz} \right.\end{align*}$$

$$\star$ $ La última integral es bien conocida y fácilmente puede ser evaluada por las partes:

$$\begin{align*}I_n=\int_0^{\pi/2}\cos^nt\,dt\Rightarrow I_n&=(n-1)\int_0^{\pi/2}\sin^2 t\cos^{n-2}t\,dt\\[7pt]&=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n}\\[7pt]&\qquad\Rightarrow I_n=\frac{n-1}{n}I_{n-2}\\[7pt]&\qquad\qquad\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l l} I_n=\frac{1\cdot 3\cdots (n-1)}{2\cdot 4\cdots n}I_0\;(n\;\text{even})\\[7pt] I_n=\frac{2\cdot 4\cdots (n-1)}{1\cdot 3\cdots n}I_1\;(n\;\text{odd})\end{matriz} \right. \\[7pt] & \qquad\qquad\qquad\big(I_0=\dfrac{\pi}{2}\,\;\;I_1=1\big)\end {align*} $$

Answer 3

Que $x=(b-a)t+a$% y $b-x=(b-a)(1-t)$, $x-a=(b-a)t$y $\mathrm{d}x=(b-a)\mathrm{d}t$.

Que $t=\sin^2(\theta)$. $$\begin{align} \int_a^b(b-x)^{(n-1)/2}\,(x-a)^{-1/2}\,\mathrm{d}x &=(b-a)^{n/2}\int_0^1(1-t)^{(n-1)/2}\,t^{-1/2}\,\mathrm{d}t\\ &=2(b-a)^{n/2}\int_0^{\pi/2}\cos^{n}(\theta)\,\mathrm{d}\theta\tag{1} \end {Alinee el} $$ integración por partes produce $$ \int_0^{\pi/2}\cos^n (\theta) \,\mathrm {d} \theta=\frac {n-1} {n} \int_0^ {\pi/2} \cos^ {n-2} (\theta) \,\mathrm {d} \theta\tag {2} $$ % hasta $n$, obtenemos $$\begin{align} \int_0^{\pi/2}\cos^n(\theta)\,\mathrm{d}\theta&=\frac{\pi}{2^{n+1}}\binom{n}{n/2}\\ \int_a^b(b-x)^{(n-1)/2}\,(x-a)^{-1/2}\,\mathrm{d}x&=(b-a)^{n/2}\frac{\pi}{2^n}\binom{n}{n/2}\tag{3} \end {Alinee el} $$ % extraño $n$, obtenemos $$\begin{align} \int_0^{\pi/2}\cos^n(\theta)\,\mathrm{d}\theta&=\frac{2^{n-1}}{n\binom{n-1}{(n-1)/2}}\\ \int_a^b(b-x)^{(n-1)/2}\,(x-a)^{-1/2}\,\mathrm{d}x&=(b-a)^{n/2}\frac{2^n}{n\binom{n-1}{(n-1)/2}}\tag{4} \end {Alinee el} $$