¿Alguien podría dar un ejemplo concreto de una estructura de grupo se conserva en un isomorfismo, etcétera? Siempre escucho esta cosa de 'preservar la estructura' . ¿OK, alguien me podría dar una definición rigurosa de lo que significa preservar la estructura? Estoy cansado de escuchar cosas como 'se comporta del mismo modo en alguna operación bla bla bla'
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Primero vamos a considerar un uno-a-uno la correspondencia que no preservar la estructura. Deje que cada número real $x$ corresponden a $x+1$. Decir $\varphi(x)=x+1$. Deje que el grupo de funcionamiento de la adición. Observe que $6+7=13$. Pero $$\varphi(6)+\varphi(7) = 7 + 8 = 15 \ne 14 = \varphi(13).$$
Ahora vamos a considerar que no conserva la estructura:
Considerar el grupo de permutaciones de $A,B,C$.
Este grupo contiene
- la identidad de permutación,
- tres transposiciones: $A\leftrightarrow B$, $A\leftrightarrow C$, $B\leftrightarrow C$,
- dos rotaciones: $$\begin{array}{ccccc} A & & \leftarrow & & C \\ & \searrow & & \nearrow \\ & & B \end{array}\quad\text{and}\quad \begin{array}{ccccc} A & & \rightarrow & & C \\ & \nwarrow & & \swarrow \\ & & B \end{array}.$$
Ahora considere un grupo de seis funciones racionales: \begin{align} x & \mapsto x \\[6pt] x & \mapsto 1/x \\[6pt] x & \mapsto 1-x \\[6pt] x & \mapsto x/(x-1) \\[6pt] x & \mapsto (x-1)/x \\[6pt] x & \mapsto 1/(1-x) \end{align} El grupo de operación de composición de funciones. Se puede comprobar que este conjunto de funciones es cerrado bajo la composición. Observe que cada una de la segunda, tercera, y la cuarta es su propia inversa. Aviso de la quinta y la sexta son los cuadrados de cada uno de los otros y inversos el uno del otro y el cubo de cada uno es la identidad.
Ahora vamos a $\iota$ ser el elemento de identidad. Deje $\alpha, \beta,\gamma$ ser las tres de la auto-inversa de los elementos. Deje $\delta,\varepsilon$ los dos que son los cuadrados de cada uno de los otros. Tenemos una tabla de multiplicación: $$ \begin{array}{c|cccccc} & \iota & \alpha & \beta & \gamma & \delta & \varepsilon \\ \hline \iota & \iota & \alpha & \beta & \gamma & \delta & \varepsilon \\ \alpha & \alpha & \iota & \varepsilon & \delta & \gamma & \beta \\ \beta & \beta & \delta & \iota & \varepsilon & \alpha & \gamma \\ \gamma & \gamma & \varepsilon & \delta & \iota & \beta & \alpha \\ \delta & \delta & \beta & \gamma & \alpha & \varepsilon & \iota \\ \varepsilon & \varepsilon & \gamma & \alpha & \beta & \iota & \delta \end{array} $$
P: ¿Es esta la tabla para el primer grupo descrito anteriormente, o el segundo?
R: Es. O ambos. Uno puede etiquetar los miembros del primer grupo con las seis letras griegas, de tal manera que $\iota$ es la identidad, $\alpha,\beta,\gamma$ son los tres auto-inversa de los elementos, y $\delta,\varepsilon$ son plazas, y si se hace bien, esta va a ser la tabla de multiplicación, y uno puede hacer lo mismo con el segundo grupo. El uno-a-uno la correspondencia es este: el elemento marcado con una cierta letra griega en un grupo corresponde a la etiqueta con la misma letra griega en el otro grupo. La preservación de la estructura significa conseguir la misma tabla de multiplicar de cualquier manera.
Stefan
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Yo diría que la definición formal es la siguiente. (Yo no asumo que esto significa algo para usted, pero yo pensaba que usted puede ser que desee ver de todos modos.) Corregir algunos de lenguaje $L$.
Una función $$ \pi \colon \mathcal M \rightarrow \mathcal N $$ entre dos $L$-estructuras de $\mathcal M, \mathcal N$ conserva su $L$-estructura de la fib es un ismorphism, es decir,
- $f$ es bijective
- para todas constante de símbolos $c \in L$ $$\pi(c^{\mathcal M}) = c^{\mathcal N}$$
- para todos los $n$-ary símbolos de función $f \in L$ $x_1, \ldots, x_n \in M$ $$\pi ( f^{\mathcal M} (x_1, \ldots, x_n) ) = f^{\mathcal N} (\pi(x_1), \ldots, \pi(x_n))$$
- para todos los $n$-ary relación símbolos $R \in L$ $x_1, \ldots, x_n \in M$ $$R^{\mathcal M} (x_1, \ldots, x_n) \text{ iff } R^{\mathcal N}(\pi(x_1), \ldots, \pi(x_n))$$
Vamos a mi tratar de explicar por qué tendríamos que incluso desee definir una cosa: Vamos a $(G, \cdot_G)$ ser su favorito grupo y corregir cualquier bijection $$ \pi \colon G \rightarrow X $$ (para un adecuado conjunto de $X$. Por ejemplo $(G, \cdot_G) = (\mathbb Z,+)$, $X = \mathbb N$.)
Podemos definir un grupo de $(X, \cdot_X)$ mediante el establecimiento de $$ x \cdot_X y = z \text{ si } \pi^{-1}(x) \cdot_G \pi^{-1}(y) = \cdot_G \pi^{-1}(z) $$
Entonces $$ \pi \colon (G, \cdot_G) \rightarrow \colon(X, \cdot_X) $$ conserva su $\{\cdot \}$-estructura, donde $\cdot$ $2$- ary símbolo de función y $\cdot^G = \cdot_G$, $\cdot^X = \cdot_X$.
Si ahora consideramos el ejemplo $(G, \cdot_G) = (\mathbb Z, +)$$X = \mathbb N$,$(\mathbb Z, +)$$(X, \cdot_X)$, sin duda "otro aspecto" (como juegos). Pero como a los grupos, que "son los mismos". Sólo hemos "cambiado los nombres de los elementos", pero que en realidad no importa lo que estos elementos son. Nos preocupamos acerca de la estructura del grupo de $G$ y que no ha sido efectuada.
Si usted insiste, de que en realidad el cuidado de los elementos de un determinado grupo, hágase la siguiente pregunta: ¿Qué es exactamente un número real? (Hay muchas maneras diferentes para la construcción de los reales, pero a nadie le importa (al pensar en ello como un grupo) que la definición que tiene en mente, porque la estructura es siempre la misma. Algunos matemático ni siquiera la atención, si usted no sabe cómo construir los reales).
Titi Wangsa bin Damhore
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Supongamos que tenemos dos grupos de $(G,*),(H,*^\prime)$, y asumir la $\phi$ es una asignación de $G \to H$
Que es $\phi:G \to H$
Ahora $\phi$ se dice para preservar la estructura de la si y sólo si $$\phi(a*b) = \phi(a) *^\prime \phi(b)$$
Observe que $*$ es la operación por grupo $G$ $*^\prime$ es la operación de grupo $H$
También si $\phi$ conserva la estructura, también se dice para ser un grupo homomorphism
En la llanura inglés, Esto es lo que significa para preservar la estructura.
No importa si puedo tomar el producto $ab$ y aplicar la función $\phi$ o me tome $a$ aplican $\phi$, a continuación, tome $b$ aplican $\phi$ y, a continuación, llevar su producto. El resultado es el mismo
Aviso aquí he utilizado el producto, me refiero a que opera el Grupo.
Xenph Yan
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Un grupo de $(G,\ast)$ es un conjunto $G$ "con una estructura de grupo". ¿Cuál es la estructura del grupo? Es la función de $\ast:G\times G\to G$ que define el funcionamiento del grupo, $$\ast(g_1,g_2)=g_1\ast g_2$$ Si $(G,\ast)$ es un grupo, y $(H,\star)$ es un grupo, entonces se dice que una función $\varphi$ desde el set $G$ para el conjunto de $H$ "conserva la estructura del grupo" cuando se "toma la estructura del grupo de $G$ la estructura del grupo de $H$". ¿Qué significa eso? Significa las siguientes dos estructuras de grupo en el set $\varphi(G)$ (es decir, la imagen de $G$ dentro de la función de $\varphi$) de acuerdo:
la operación $\diamond:\varphi(G)\times\varphi(G)\to\varphi(G)$ definido por $$\varphi(g_1)\diamond\varphi(g_2)\overset{\text{def}}{=}\varphi(g_1\ast g_2)$$ Esto es intuitivamente la operación en $\varphi(G)$ que la función de $\varphi$ "enviado" de la operación $\ast$. Diríamos que $\diamond$ es la operación en la $\varphi(G)$ "inducido por" la operación $\ast$$G$.
la operación $\bullet:\varphi(G)\times\varphi(G)\to\varphi(G)$ definido por $$\varphi(g_1)\bullet\varphi(g_2)\overset{\text{def}}{=}\varphi(g_1)\star\varphi(g_2)$$ Esto es intuitivamente la operación en $\varphi(G)$ que "ya ha" de la operación $\star$$H$. (Técnicamente estoy glosa sobre algo aquí. Si quieres puedo ampliar.)
Al $\varphi$ "envía la operación en $G$ a la operación en $H$", decimos que $\varphi$ ha conservado la estructura del grupo. Esto ocurre precisamente cuando $\varphi:G\to H$ es un grupo homomorphism.
Ahora, esto garantiza que estamos "preservar" (en el sentido intuitivo) de operaciones del grupo como $\varphi$ envía elementos de$G$$H$. Sin embargo, si hacemos una estricta interpretación de la palabra "mantener" significa "conservar en una reversible manera", entonces podríamos decir también que queremos que exista una función de $\psi:H\to G$, $\psi$ "la preservación de la estructura de grupo", con la propiedad de que $\psi$ "deshace" $\varphi$ $\varphi$ "deshace" $\psi$. Entonces hemos llegado a la definición de un grupo de isomorfismo.
JacobN
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La idea de "estructura-la preservación de la función" proviene del modelo de la teoría y álgebra universal.
Se formaliza la idea de una "estructura" mediante la consideración de un conjunto de $S$ con algunas operaciones $f_1, \ldots, f_n$, donde cada una de las $f_i$ puede tener un cierto número de argumentos que van más elementos de $s$. Nosotros generalmente requieren de estas funciones para satisfacer a algunos axiomas, dependiendo de la estructura que estamos considerando. Por ejemplo, un grupo puede ser definido como un conjunto $G$ con dos operaciones de $e$ (identidad), $*$ (multiplicación). $e$ no toma argumentos, mientras que $*$ toma dos. (A $0$ argumento de la función es una constante; en este caso $e$ significa que el elemento de identidad del grupo). Es necesario para satisfacer a los familiares axiomas de grupos:
- Para todos $g \in G$, $g * e = e * g = e$
- Para todos $g_1, g_2, g_3 \in G$, $g_1 * (g_2 * g_3) = (g_1 * g_2) * g_3$
- Para todos los $g \in G$ existe alguna $h \in G$ tal que $g * h = h * g = e$
Podemos definir un anillo del mismo modo (tenemos dos constantes, $0, 1$ que representan el aditivo y multiplicativo de identidades, así como las dos operaciones de suma y multiplicación), y así sucesivamente con los campos, etc. Una estructura-la preservación de mapa es necesaria para preservar todas las operaciones de $f_i$.
Esto significa que si queremos $\phi$ a ser una estructura de preservar homomorphism en la estructura de la $(S, f_1, \ldots, f_n)$ a una estructura $(T, g_1, \ldots, g_n)$ ($T$ es necesario que sea el mismo tipo de estructura con las mismas funciones, axiomas, etc.), a continuación, para cada una de las $i = 1, \ldots, n$ si $f_i$ es de $r_i$ argumentos, entonces para todos $s_1, \ldots, s_{r_i} \in S$, $\phi(f_i(s_1, \ldots, s_{r_i})) = g_i(\phi(s_1), \ldots, \phi(s_{r_i}))$.
En el caso de los grupos, esto significa que si $\phi: G \rightarrow H$ es un grupo homomorphism, entonces se requiere:
- para todos $g, g' \in G$, $\phi(g *_G g') = \phi(g) *_H \phi(g')$ (donde $*_G$, $*_H$ son la multiplicación de las operaciones en $G,H$ respectivamente).
- $\phi(e_G) = e_H$
El segundo requisito es generalmente de izquierda a cabo en los libros de texto, ya que es elemental, con la consecuencia de que el grupo de axiomas que un mapa entre los grupos que se cumple el primer requisito también cumplen la segunda (a ver si usted puede demostrar esto).
Nota: podemos definir realmente la idea de una estructura de preservar homomorphism un poco más general. Podemos permitir que nuestras estructuras también tienen relaciones: el mejor ejemplo es la estructura de un conjunto parcialmente ordenado. Este es un conjunto $S$ con un solo binario relación $\leq$ que responde a la habitual de los axiomas de un conjunto parcialmente ordenado. Un mapa de posets es requerido para satisfacer el siguiente requisito: si $a \leq b$,$\phi(a) \leq \phi(b)$, y del mismo modo, dada una estructura con una relación $R$, luego de una estructura de preservar mapa satisface: si $aRb$$\phi(a) R \phi(b)$.
Un isomorfismo es un bijective estructura de la preservación de mapa cuya inversa es una estructura de la preservación de mapa. Es un teorema de modelo de la teoría de que dado un isomorfismo de cualquier estructura $\phi: A \rightarrow B$, y de la sentencia $S$ que sólo menciona cosas que se pueden definir en términos de la estructura (esto se puede formalizar: pero básicamente creo que de cualquier declaración acerca de los grupos - es un grupo de la teoría de la declaración de que hay un elemento de orden 267, pero no es un grupo de teóricos de la declaración de que el grupo es un subconjunto de los números naturales, como esto último no es acerca de los grupos), a continuación, $S$ es cierto de $A$ si y sólo si $S$ es cierto de $B$.
