Si $P_1 , P_2 $ son dos $p$-sylow subgrupos, demostrar que $ P_1 \bigcap $ $P_2$ = $ { 1 } $

Question

Si $P_1 , P_2 $ son dos sylow $p$-subgrupos del grupo $G$ demostrar que:

$ P_1 \bigcap $ $P_2$ = $ { 1 } $

Traté de demostrarlo por inducción de la siguiente manera: lo demostró al $P_1 , P_2$ tiene el orden p para algunos de los mejores p luego se supone que es verdadera cuando el sylow p-subgrupo tiene la orden de $p^n$ y se supone que hay algún elemento en la intersección , hecha $H$ = el subgrupo generado por este elemento ", dicen , x "

He demostrado que H es subgrupo normal de $P_1$ , $P_2$ , y de hecho el factor grupo, $P_1$ mod $H $ = $Q_1$ y $P_2$ mod $H$ = $Q_2$

Así que por la inducción, si $h$ $\in$ la intersección de a $Q_1 , Q_2$ $Q_1$= $Q_2$

Pero, yo no podía determinar el elemento que es en esta intersección, no sé si este elemento $h$ debe existir o no -

No sé cuál es el siguiente paso ahora, necesito algunos consejos para probar esta afirmación:

He encontrado que el texto - dummit y foote - utilice el hecho de que la intersección de dos sylow p-subroup es el elemento de identidad, pero no demuestran este hecho, por eso busco una prueba.

Answer 1

Esto no es cierto en general. Por ejemplo, el grupo de $S_6$ los dos siguientes Sylow 2-subgrupos. Deje $P_1$ ser generados por $(12),(13)(24)$ $(56)$ (los primeros dos permutaciones generar un Sylow 2-subgrupo de $S_4$). Deje $P_2$ ser generados por $(12),(35)(46)$ $(56)$ (aquí tenemos una Sylow 2-subgrupo de $S_4$ en un diguise que $S_4$ ahora está actuando en el conjunto $\{3,4,5,6\}$). Obviamente $P_1$ $P_2$ se cruzan no trivial, ya que comparten dos generadores. Sin embargo, ellos no son el mismo subgrupo como las órbitas de $P_1$$\{1,2,3,4\}$$\{5,6\}$, mientras que las órbitas de $P_2$$\{1,2\}$$\{3,4,5,6\}$.

Answer 2

Aunque, como se señaló anteriormente, la afirmación no es cierta en general, usted podría preguntarse por qué grupos es muy cierto. Su pregunta puede reformularse como que la p-grupos aparecen como no normales, T. I. Sylow p-subgrupos? Aquí T. I. es el acrónimo de "trivial intersección". Un trivial intersección es uno que se cruza con cada uno de sus conjugados totalmente o trivialmente.

Estos han sido ampliamente estudiados, dado que los grupos que han T. I. conjuntos se presentan algunos interesantes representación teórica del comportamiento (ver, por ejemplo, el Capítulo 7 de Isaacs libro famoso Personaje de la Teoría de Grupos Finitos). Ver más Jack Schmidt post de septiembre de 2011 y el debate posterior a este.

Otro algo más especializado ángulo de esto es hacer la pregunta que los p-grupos puede ser realizado como un Frobenius complemento: $G$ es un Frobenius grupo si y sólo si $G$ tiene una adecuada, la no-identidad de los subgrupos $H$ ("la Frobenius complemento") tal que $H \cap H^g = 1$ por cada $g \in G − H$. Puede demostrarse que si $H$ es un Sylow p-subgrupo de $G$, debe ser cíclica o generalizada de cuaterniones.