Métricas en $\mathbb{P}_2$

Question

Tengo que demostrar que $\mathbb{P}_2$ con la función de $\delta(P,Q)$ definido por el "Seno del ángulo entre dos vectores en $\mathbb{R}^3$ de manera tal que se corresponden, respectivamente, con P y Q" es, efectivamente, una distancia. Yo no soy capaz de demostrar la desigualdad triangular. Estoy tratando con el brute enfoque, suponiendo que los tres puntos se $$(1:0:0), (\cos(a):0:\sin(a)), (\cos(b):\sin(b)\sin(c):\sin(b)\cos(c)),$$ Me sale esto, uno de los $$\sin^2(b)\cos^2(c)+(\cos(a)\sin(b)\sin(c)-\sin(a)\cos(b))^2\leq(\sin(a)+\sin(b))^2.$$ Tenga en cuenta que el extraño punto de referencia para el vector $(\cos(b),0,\sin(b))$ girado por el ángulo de $-c$ con respecto al eje de rotación correspondiente a la z-eje.

Eres capaz de resolver la desigualdad? O tienes un enfoque diferente?

Answer 1

He aquí una prueba geométrica.

Deje $O$ denotar el origen. Si $P$ $Q$ son dos puntos en la unidad de la esfera, a continuación, $\sin(\angle POQ)$ es el doble del área del triángulo $\triangle POQ$. Por lo tanto, es suficiente para demostrar que $$ \text{área}(\triángulo POQ) \,+\, \text{área}(\triángulo QO) \;\geq\; \text{área}(\triángulo POR) $$ para cualquiera de los tres puntos $P$, $Q$, y $R$ en la unidad de la esfera centrada en $O$.

Nótese en primer lugar que, reflexionando $P$ o $R$ $O$ si es necesario, podemos suponer que la $\angle POQ$ $\angle QOR$ son agudos. También podemos suponer que $\angle POQ$ $\angle QOR$ menos de $\angle POR$, ya que de lo contrario la desigualdad es trivialmente cierto.

Ahora, gire $\triangle POQ$ a lo largo de $\overline{PO}$, de modo que se cubre parcialmente $\triangle POR$, y del mismo modo rotar $\triangle QOR$ a lo largo de $\overline{OR}$, de modo que se cubre parcialmente $\triangle POR$. Entonces estos dos girado triángulos contienen la proyección ortogonal $Q'$ $Q$ sobre el plano de $\triangle POR$, y por lo tanto se superponen. De ello se desprende que cubran totalmente $\triangle POR$, lo que demuestra la desigualdad.

Answer 2

Probablemente irrelevantes nota: si se define la distancia a la sinusoidal de la mitad que el ángulo entre los puntos (necesario para estar en el mismo hemisferio!), entonces el triángulo de la desigualdad es sencillo, debido a que $2 \sin \frac{\theta}{2}$ es exactamente la longitud de la cuerda de$P$$Q$, así que la cosa que estamos tratando de demostrar que se convierte en...el triángulo Euclidiano de la desigualdad de los tres puntos de $P,Q,R$.

Por otro lado, una rápida matlab prueba de un millar de tripletas de puntos en la esfera sugiere que la declaración original, el uso de seno, es de hecho correcta, ya que la prueba no producía ningún tipo de contraejemplos. Pero no sé rápido y fácil de la prueba, por desgracia.