Geometría. Paralelogramo.

Question

Sea $A$, $B$, $C$, $D$ $4$ puntos fijada en línea $l$. $A$ Y $B$ pasan dos arbitrarias líneas paralelas, y dos líneas paralelas arbitrarias pasan por $C$ y $D$. Estas líneas de $4$ forman un paralelogramo. Demostrar, que las diagonales de este paralelogramo cruzan la línea de $l$ en dos puntos fijos. Teorema trató de Menelao y el teorema de interceptar, pero no podía hacer ejercicio. ¿Cómo resolver esto?

Answer 1

Tomar la $y$-eje de la línea de $l$. Podemos escribir las cuatro líneas de $l_1, l_2,l_3,l_4$ $y=rx+a$, $y=rx+b$, $y=sx+c$, $y=sx+d$, respectivamente. El punto de intersección de $l_1$$l_3$,$l_1$$l_4$,$l_2$$l_3$, y que de $l_2$ $l_4$ $\displaystyle (\frac{c-a}{r-s}, \frac{rc-sa}{r-s})$, $\displaystyle (\frac{d-a}{r-s}, \frac{rd-sa}{r-s})$, $\displaystyle (\frac{c-b}{r-s}, \frac{rc-sb}{r-s})$, y $\displaystyle (\frac{d-b}{r-s}, \frac{rd-sb}{r-s})$, respectivamente.

Por lo que la diagonal que pasa por el punto de intersección de $l_1$ $l_4$ e de $l_2$ $l_3$ tiene por ecuación

$$y= \frac{(rd-sa-rc+sb)}{(d-a-c+b)}x+ \frac{(rd-sa)}{(r-s)}- \frac{(rd-sa-rc+sb)}{(d-a-c+b)}\frac{(d-a)}{(r-s)} $$

que para $x=0$ tiene solución

$$y= \frac{(rd-sa)}{(r-s)}- \frac{(rd-sa-rc+sb)}{(d-a-c+b)}\frac{(d-a)}{(r-s)}$$

La expansión de los productos y de la simplificación, la última ecuación se reduce a

$$ y= \frac{ (rbd+sac-sbd-rac) }{(r-s)(d-a-c+b)}=-\frac{ (r-s) (ac-bd) }{(r-s)(d-a-c+b)} =\frac{ (bd-ac) }{(d-a-c+b) }$$

Puesto que la ecuación es de la forma$y=k$, $k$ constante e independiente de las pistas $r$$s$, la diagonal del paralelogramo cruza el $y$-eje, es decir, la línea de $l$, en un punto fijo, cuyas $y$-coordinar está dada por la última ecuación, no importa que las pendientes son considerados.

Las mismas consideraciones permiten mostrar que la otra diagonal que pasa a través de las intersecciones de $l_1$ $l_3$ e de $l_2$ $l_4$ cruza también el $y$-eje o de la línea de $l$ en un punto fijo, cuyas $y$-valor está dado por

$$y=\frac{(bc-ad)}{(c-a-d+b)}$$

Por último, tenga en cuenta que los casos donde los denominadores $d-a-c+b$ o $c-a-d+b$ son iguales a cero representan aquellos en los que la correspondiente diagonales son paralelas a la $y$-eje.

Answer 2

Uso de la geometría de coordenadas

Calcular las coordenadas de los vértices V1 y V2 y, a continuación, ajuste la ecuación de la diagonal. La intersección de la diagonal con el eje y en Y = [b(a-d) + (c-b)] / [a - d + c - b], siempre que m no es igual a n y proporcionado (a - d + c -b) no es igual a 0. La primera es la condición de que los dos conjuntos de líneas no son paralelas y la segunda, que la diagonal no es paralelo al eje y.

Así, la intersección es independiente de la pendiente de los dos conjuntos de líneas paralelas.