Mostrar que $(1+\frac{x}{n})^n \rightarrow e^x$ uniformemente en cualquier intervalo acotado de la línea real.

Question

Estoy tratando de argumentar de la definición de convergencia uniforme de una secuencia de funciones real-valued, pero estoy batallando mucho. Mis esfuerzos hasta ahora se han concentrado en tratar de encontrar una secuencias, ${a_n}$ que tiende a cero, tal que

$$|(1+\frac{x}{n})^n -e^x |\leq a_n$$ for all $n$. Pero he tenido éxito hasta ahora. Toda ayuda es apreciada.

Answer 1

Para encontrar su secuencia $(a_n)$ donde $|(1 + x/n)^n - e^x| \leqslant a_n \to 0$ -- demostrando convergencia uniforme en cualquier intervalo acotado -- el uso de la desigualdad de $\ln(1+y) \leqslant y$.

Tenemos para $0 \leqslant y < 1$,

$$1+y \leqslant e^y = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{y^k}{k!} \leqslant \sum_{k=0}^{\infty} y^k = \frac1{1-y},$$

Tome $y = x/n$. De ello se desprende que para $n$ suficientemente grande

$$1 + \frac{x}{n} \leqslant e^{x/n} \leqslant \left(1 - \frac{x}{n}\right)^{-1},$$

y

$$\left(1 + \frac{x}{n}\right)^n \leqslant e^x \leqslant \left(1 - \frac{x}{n}\right)^{-n}.$$

La segunda desigualdad implica que

$$e^{-x} \geqslant \left(1 - \frac{x}{n}\right)^{n}.$$

Usando la desigualdad de Bernoulli $(1 - x^2/n^2)^n \geqslant 1 - x^2/n.$

Por lo tanto,

$$0 \leqslant e^{x} - \left(1+ \frac{x}{n}\right)^n = e^{x}\left[1 - e^{-x}\left(1+ \frac{x}{n}\right)^{n}\right]\\ \leqslant e^{x}\left[1 - \left(1+ \frac{x}{n}\right)^{n}\left(1- \frac{x}{n}\right)^{n}\right]\\= e^{x}\left[1 - \left(1- \frac{x^2}{n^2}\right)^{n}\right]\leqslant e^{x}\frac{x^2}{n}.$$

Por lo tanto, para todos los $x \in [0,K]$, $n \to \infty$

$$0 \leqslant \left|e^{x} - \left(1+ \frac{x}{n}\right)^n\right| \leqslant e^K\frac{K^2}{n} \rightarrow 0.$$

Un casi idéntico argumento para $y \geqslant 0$ muestra que

$$0 \leqslant e^{-y} - \left(1- \frac{y}{n}\right)^n \leqslant e^{-y}\frac{y^2}{n}.$$

Por lo tanto si $-y = x \in [-L,0]$ hemos

$$0 \leqslant \left|e^{x} - \left(1+ \frac{x}{n}\right)^n\right| = \left|e^{-y} - \left(1- \frac{y}{n}\right)^n\right| \leqslant \frac{L^2}{n} \rightarrow 0.$$

demostrando convergencia uniforme en cualquier intervalo acotado.

Answer 2

En este documento, se presenta un enfoque que para cualquier $\epsilon>0$, produce un número $N$, que depende de la $\epsilon$ e no $x$, de tal manera que $\displaystyle \left|e^x-\left(1+\frac xn\right)^n\right|<\epsilon$ siempre $n>N$.

Para ello vamos a utilizar las desigualdades, que he establecido en ESTA RESPUESTA usando sólo el límite de la definición de la función exponencial y la Desigualdad de Bernoulli. Las desigualdades que se utiliza en el análisis siguiente se

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{e^x\le 1+x} \tag 1$$

para $x<-1$ y

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\log(x-1)\ge \frac{x}{x}} \tag 2$$

para $x>0$.

Para ello, vamos a proceder.

---

Suponemos que $x\in [a,b]$ y $\epsilon>0$ es dado. Además, vamos a elegir a $n$ tal que $n>-x$ todos los $x\in[a,b]$.

El uso de $(1)$ $(2)$ podemos escribir

$$\begin{align} \left|e^x-\left(1+\frac xn\right)^n\right|&=\left|e^x-e^{n\log\left(1+\frac xn\right)}\right|\\\\ &\le \left|e^x-e^{\frac{x}{1+x/n}}\right|\\\\ &=e^x\,\left|1-e^{-x^2/(x+n)}\right|\\\\ &\le e^x\,\left|\frac{x^2}{x+n}\right|\\\\ &\le e^{b}\frac{|\max^2(a,b)|}{n+a}\\\\ &<\epsilon \end{align}$$

siempre que $ \displaystyle n>\frac{e^b\,\max^2(a,b)}{\epsilon}-a$. Tomamos $\displaystyle N(\epsilon)=1+\left\lfloor \frac{e^b\,\max^2(a,b)}{\epsilon}-a \right\rfloor$ y hemos terminado!

Answer 3

Si usted no está familiarizado con Dini del teorema (yo no estaba), el trabajo de la potencia de la serie de $\exp$. Observar que $$(1+x/n)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} \frac{x^k}{n^k}$$ y que $${n \choose k} \frac{1}{n^k} = \frac{n!}{n^k(n-k)!k!} \to \frac{1}{k!}$$

Esto significa que cada uno de los coeficientes en la expansión de $g_n(x) = \exp(x) - \left(1+\frac{x}{n}\right)^n$ $0$ $n$ va al infinito. También, todos los coeficientes son positivos y menos de $\frac{1}{k!}$.

Ahora, considere el intervalo de $[-R,R]$. Elija $k> 0$ tal que $\sum_{s=k+1}^\infty \frac{R^s}{s!} < \frac{\epsilon}{2}$ (¿por qué puede usted hacer esto?) Para $n$ suficientemente grande, podemos hacer cada uno de los primeros a $k+1$ coeficientes menor que $\frac{\epsilon}{2(k+1)(1+R^k)}$, lo que para cualquier $x \in [-R,R]$, $$|g_n(x)| \le \sum_{s=0}^k \frac{\epsilon R^s}{2(k+1)(1+R^k)} + \sum_{s=k+1}^\infty \frac{R^s}{s!} \le \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}.$$

Este mismo razonamiento se extiende (con pequeños cambios) para cualquier intervalo acotado $[a,b]$ $\mathbb{R}$ (e incluso semi-abierta o abra intervalos).