¿Si $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}$ es monótona y diferenciable, sigue que el $f$ es continuamente diferenciable?
(Esta pregunta surgió de la discusión: problema en la función continua y diferenciable)
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Que $f(x)=x|x|(\sin(1/x))+2x|x|+2x$. A continuación:
- $x > 0$, $f'(x)=2x \sin(1/x)-\cos(1/x)+4x+2=2x(\sin (1/x)+2)+2-\cos(1/x)$, Que es positivo para $x>0$.
- $x < 0$, $f'(x)=-2x \sin(1/x)+\cos(1/x)-4x+2 =-2x(\sin (1/x) + 2) + 2 + \cos(1/x)$, Que es positivo para $x<0$.
- Podemos evaluar directamente $f'(0)$: $$f'(0)=\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}=\lim_{x \to 0} \left(|x|\sin (1/x) + 2|x| + 2\right)=2 \, . $ $
Así $f$ está por todas partes diferenciable con derivada positiva; por lo tanto es monótona. Pero es discontinua en $f'$ $0$.
tooshel
Puntos
475
$g(x)=x^2\sin(1/x)$, $x\neq 0$, $g(0)=0$, es una función diferenciable en todas partes en $\mathbb R$ con discontinuo derivado en $0$. No es monotono todavía.
Desde $|g'(x)|\leq 2|x|+1$ todos los $x$, podemos añadir una función como $x^3+4x$ al hacer la derivada siempre es positiva, porque $3x^2+4+g'(x)\geq 3x^2+4-|g'(x)|\geq 3x^2+4-2|x|-1\geq\begin{cases} 3x^2+1>0, & \text{if %#%#% } \\ x^2+3>0, & \text{if %#%#%} \\ \end{casos}.$
Por lo tanto $|x|\leq1$ es diferenciable en todas partes, cada vez mayor, con discontinuo derivado en $|x|\geq 1$.
Alternativamente, se podría empezar con un ejemplo que tiene en todas partes delimitadas derivada discontinua en $f(x) = x^2\sin(1/x)+x^3+4x$, como $0$, y, a continuación, sólo tenemos que agregar un plazo $0$ donde $h(x)=e^{-x^2}x^2\sin(1/x)$ es un límite superior para el valor absoluto de la derivada de $cx$ ($c>0$ basta creo).
