Demostración de Bourbaki del lema de Zorn en el álgebra de Lang

Question

Serge Lang en su libro Álgebra tiene un bonito apéndice sobre teoría de conjuntos al final del libro. En particular, en el apartado 2, pp. 881-884, proporciona una prueba del lema de Zorn a partir de "otras propiedades de los conjuntos que todo el mundo consideraría psicológicamente aceptables" (véase la mitad de la p. 881). Según tengo entendido, el lema de Zorn es equivalente al axioma de elección y al principio de ordenación de pozos. Sin embargo, en la prueba de Lang no puedo identificar un punto en el que se utilice ninguno de los dos axiomas mencionados. En la parte superior de la p. 882 da un argumento según el cual "podemos suponer que el conjunto considerado tiene un elemento menor", pero esto, "sin pérdida de generalidad". Así que, aunque esto se parece al "principio de ordenación bien", no parece serlo. Mi pregunta es: ¿es cierto que el axioma de elección o el principio de buen orden no se utilizan en la demostración de Lang? En caso afirmativo, ¿dónde? Si no es así, ¿cuál es el axioma sutil de la teoría de conjuntos que utiliza esta prueba para obtener el lema de Zorn?

Editado: En el apéndice al que me refiero, el Lemma de Zorn aparece como Corolario 2.5. Sin embargo, cuando digo "demostración del lema de Zorn", me refiero a todo el material que Lang demuestra para llegar al corolario 2.5, es decir, el teorema 2.1, el lema 2.2, el lema 2.3 y el corolario 2.4.

Answer 1

La prueba que vi estaba usando, esencialmente, el Principio de maximalidad de Hausdorff .

Principio de maximalidad de Hausdorff (HMP). Toda cadena parcialmente ordenada tiene un $\subseteq$ -cadena máxima.

Es evidente que si $(P,\leq)$ es un conjunto parcialmente ordenado que cumple las condiciones del lema de Zorn, y $C\subseteq P$ es una cadena maximal, entonces $C$ tiene un límite superior $c$ y por la maximalidad de $C$ tenemos que tener $c\in C$ y que es un elemento maximal.

La prueba parece pasar por otros medios para demostrar HMP, y utiliza la Teorema de Bourbaki-Witt .

El teorema de Bourbaki-Witt no se basa en el axioma de elección en absoluto . Es demostrable en ZF, como señaló Brian aquí . La razón por la que es demostrable en ZF es que asume la existencia de un mínimo superior de cada cadena, y por lo tanto permite una elección canónica para $a_1$ al pasar de $D_0$ a $D_1$ (y así sucesivamente).

El axioma de elección entra de lleno en la demostración del Corolario 2.4:

Supongamos que $A$ no tiene un elemento maximal. Entonces para cada $x\in A$ existe un elemento $y_x\in A$ tal que $x<y_x$ . Sea $f\colon A\to A$ sea el mapa tal que $f(x)=y_x$ para todos $x\in A$ .

Aquí decimos que $f$ es una función de elección. En la demostración del teorema de Bourbaki-Witt necesitábamos saber cuál es el siguiente paso en el "crecimiento", pero asumimos que $f$ se nos dio. A partir de ahí solo era cuestión de terminar la prueba.

Pero en este corolario necesitamos definir realmente $f$ . Y esto requiere el axioma de la elección.

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Debo añadir que hay libros llenos de equivalentes al axioma de elección, y hay un montón de ellos que son axiomas muy poco teóricos, o muy poco relacionados con el buen orden (por ejemplo, " Todo conjunto no vacío puede convertirse en un grupo "). Puesto que todos ellos son equivalentes al axioma de elección, todos ellos son equivalentes al lema de Zorn.