¿Es el espacio de Hilbert de la teoría de $\phi^4$ conocido?

Question

Considerar libre, real escalar la teoría del campo en $d=1+3$ dimensiones: $H = \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi + \frac{1}{2} m^2 \phi^2$. El espacio de Hilbert de esta teoría es conocida; es sólo el vacío, además de cada uno de los $n$-partícula de Hilbert espacios atravesado por ondas planas (algo parecido a $\mathbb{C} \times L^2(\mathbb{R}^3) \times L^2(\mathbb{R}^{3*2}) \times \cdots L^2(\mathbb{R}^{3n}) \times \cdots$)

Pregunta: Si se introduce un $\phi^4$ término de interacción, es el espacio de Hilbert conocido? Si no, al menos se sabe si es o no el libre teoría del espacio de Hilbert es un subconjunto de la interacción de la teoría del espacio de Hilbert?

(La motivación para esta pregunta: para una partícula en $3$ dimensiones espaciales, el espacio de Hilbert de $H = \frac{P^2}{2m} + V$ $L^2(\mathbb{R}^3)$ para una gran clase de los potenciales de $V$, incluyendo la gratuita de su caso $V=0$.)

Answer 1

Hay un par de maneras diferentes de responder a esta pregunta.

En primer lugar, debo señalar que hay un matemático de la máquina que toma un Euclidiana ruta integral y escupe un espacio de Hilbert con un álgebra de los operadores de campo que actúa sobre él. Así que si usted puede escribir la ruta de acceso integral para $\phi^4$ teoría rigurosamente, usted puede dar vuelta a una manivela y obtener el espacio de Hilbert. Si esta teoría es la interacción, entonces el espacio de Hilbert y el álgebra de los operadores consigue no ser isomorfo a el campo libre el espacio de Hilbert de campo y el álgebra. (Hilbert espacios van a ser isomorfo -- aunque no canónicamente, pero el campo de los operadores estarán definidas en diferentes dominios, y el isomorphisms no se ajusten a estos dominios.)

El problema con esta respuesta es que nadie se ha construido la ruta integral para 4d $\phi^4$ teoría rigurosamente.

De hecho, hay buenas razones para sospechar que el continuum $\phi^4$ teoría en 4d no existe. La teoría parece tener un Landó polo; esto significa que si usted comienza con algunos de corte de la teoría y tratar de quitar la corte, mientras que la celebración de la larga distancia, las funciones de correlación fija, descubre que el $\phi^4$ acoplamiento de golpes, hasta el infinito en un número finito de corte de la escala. Lo que significa que hay no hay manera de encender un $\phi^4$ interacción en pura 4d escalar la teoría de campo.

Una forma alternativa de decir esto: parece Que el $\phi^4$ interacción es un poco irrelevante; $\phi^4$ teoría se ve libre al igual que escalar la teoría de campo en las largas distancias. Las interacciones desaparece. Lo que esto significa en la práctica de los espacios de Hilbert es que son el mismo.

Esto no significa que la pura $\phi^4$ teoría es inútil, por cierto. Todavía puede tener sentido como un efectivo de la teoría de campo de aproximación a algunos de corta distancia, en teoría. Todo lo que significa es que a la corta distancia de la teoría no puede ser puro $\phi^4$ teoría; no debe ser algunos de los nuevos grados de libertad en el UV de finalización.