Teorema de Dini. Convergencia uniforme y Bolzano Weierstrass.

Question

En el capítulo de Spivak sobre la convergencia uniforme se pide demostrar lo siguiente

TEOREMA Dejemos que $\{f_n\}$ sea una secuencia de funciones continuas que convergen puntualmente a $0$ en $[a,b]$ . Si $0\leq f_{n+1}\leq f_n$ para cada $x$ y $n$ entonces la convergencia es realmente uniforme sobre $[a,b]$ .

Ahora, pide, como en otras ocasiones, argumentar por contradicción y utilizar a Bolzano Weierstrass para encontrar una "secuencia adecuada $\{x_n\}$ ". Supongo que quiere que encuentre una secuencia que vaya a $0$ pero $f_n(x_n)\not \to 0$ . Sinceramente no miré esa opción, pero escribí la siguiente prueba directa :

PRUEBA (Esto estaba muy mal)

Tampoco veo por qué es imprescindible que el $f_n$ son continuos. ¿Podría proporcionar una prueba utilizando Bolzano Weierstrass?

Con esto, parece que se puede demostrar el teorema de Dini, que parece un resultado inmediato:

TEOREMA Dejemos que $f_n\to f$ de forma puntual y monótona sobre $[a,b]$ con cada $f_n$ continua, y $f$ continua. Entonces $f_n\to f$ de manera uniforme.

PROOF Supongamos que $\{f_n\}$ creciente, y establecer $g_n=f-f_n$ . Entonces el $g_n$ son continuos, $g_n\to 0$ en el sentido de la palabra y $$0\leq g_{n+1}\leq g_n$$ Por lo anterior, $g_n\to 0$ uniformemente sobre $[a,b]$ Es decir, $f_n\to f $ uniformemente sobre $[a,b]$ . Si $\{f_n\}$ es decreciente, considere $\{-f_n\}$ .

Entonces Spivak pregunta

$(1)$ ¿Y si $f$ no es continua? $(2)$ ¿Y si sustituimos $[a,b]$ con $(a,b)$ ?

Answer 1

He aquí una prueba directa:

TEOREMA Supongamos que $\{f_n\}$ es una secuencia de funciones continuas de $[a,b]$ a $\Bbb R$ que convergen puntualmente a una función continua $f$ en $[a,b]$ . Si $f_{n+1}\leq f_n$ , entonces la convergencia es uniforme.

PROOF Hemos establecido $g_n=f_n-f$ y nota que $g_n\geq g_{n+1}$ y el $g_n$ son continuas y convergen puntualmente a $0$ . Para un determinado $\epsilon>0$ . Consdier los conjuntos (relativamente) abiertos (por la continuidad del $g_n$ ) $O_n=\{x\in [a,b] :g(x)<\epsilon\}$ . Tenga en cuenta que, dado que $g_n\geq g_{n+1}$ tenemos $O_n\subset O_{n+1}$ . Dado $x\in[a,b]$ hay un $n$ tal que $g_n(x)<\epsilon$ de ahí que $\bigcup_{n\in\Bbb N}O_n=[a,b]$ . Pero como $[a,b]$ es compacto existe un conjunto finito $K=\{1,\dots,m\}$ tal que $\bigcup_{k=1}^m O_{n_k}=[a,b]$ . Pero como $O_n\subset O_{n+1}$ el mayor elemento de $K$ Llámalo $\ell$ es tal que $O_\ell =[a,b]$ . Y ya está: por cada $n\geq \ell$ tenemos $g_n(x)<\epsilon$ ; como se desee. $\blacktriangle$

Answer 2

Supongamos que podemos encontrar $\delta>0$ una subsecuencia $\{f_{n_k}\}$ y una secuencia $\{x_{n_k}\}$ tal que $f_{n_k}(x_{n_k})\geqslant \delta$ para todos $k$ . Teorema de Bolzano-Weierstrass ( $[a,b]$ es compacto) nos permite extraer de $\{x_{n_k}\}$ una subsecuencia, denotada $\{t_j\}$ que convergen a algún $t$ . Tenemos para todos los enteros $n$ y $m$ , que denota $g_k$ la secuencia indexada por los enteros que aparecen en $t_k$ , $$\delta\leqslant g_{m+n}(t_{m+n})\leqslant g_n(t_{m+n}).$$ Ahora arreglamos $n$ y tomar el $\limsup_{m\to +\infty}$ . Esto da para todos los enteros $n$ , $$\delta\leqslant\limsup_{k\to +\infty}g_k(t_k)\leqslant g_n(t),$$ una contradicción.

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En el segundo teorema, toma $a=0, b=1$ .

• Si no asumimos $f$ continua, considere $f_n(x):=x^n$ .
• El mismo contraejemplo considerando $(0,1)$ .