Explorar propiedades de Pascal ' triángulo de s $\pmod 2$

Question

Moderador Nota: Esta pregunta es para un concurso que terminó el 1 de diciembre de 2012.

Considere el Triángulo de Pascal tomada $\pmod 2$:

Por simplicidad, vamos a llamar a un número finito de cadena de 0's y 1's adecuada si se produce en una de las filas de esta modificado el triángulo de Pascal. (por ejemplo, 0 (fila 3) y 10001 (fila 5) son adecuados).

He estado explorando adecuada cadenas de longitud $n$. Mi profesor me dijo que es posible

i) caracterizar explícitamente todas adecuada cadenas de longitud $n$

y ii) Encontrar una fórmula explícita para el número de adecuada cadenas de longitud $n$.

Pero no puedo averiguar cómo incluso de comenzar cualquiera de las partes. Este es un problema interesante, y me preguntaba si alguien me podría ayudar. Gracias!

Answer 1

(El siguiente fue demostrado me hace unos años por David Kelly, quien utiliza este descubrimiento para generar una aproximación del triángulo de Sierpinski mirando en el triángulo de Pascal en base 2, aunque los detalles de esta parte se me escapan.)

Que $n \in \mathbb{N}$ y que:

$$F(n) = \textrm{max}\{k \in \mathbb{N} \, \colon \, 2^k \textrm{ divides }n\}.$$

$$B(n) = \textrm{ count of 1s in the base-2 representation of } n.$$

$$P(n) = \textrm{ count of odd numbers in the } n\textrm{th row of Pascal's Triangle.}$$

Propuesta: Cada $n \in \mathbb{N}$, el asimiento siguiente:

1. $F(n) + B(n) = n,$
2. $P(n) = 2^{B(n)}.$

Answer 2

Para empezar, un ejemplo muy grande del triángulo de dibujo. O encontrarla en algún lugar en internet. Luego empezar a buscar regularidades. Patrones que se producen.

(edit). Mis ideas iniciales. Se pueden ver tramos largos de %#% de #% o tramos largos de $1$'s. Puedo ver a $0$, por creo que no puedo encontrar $0110$. ¿Por qué? Lo que puede estar por encima de esa secuencia...