Con Vieta ' fórmula s

Question

Teniendo en cuenta que $p$ es una privilegiada, que todas las soluciones a $$x^{p-1}+x^{p-2}+\dots+x+1=0$$ be $ x_1, x_2, x_3, \dots, icadas {p-1} $.

Encontrar el valor de %#% $ #%

Un amigo me dio esto, y probó ser más difícil de lo inicialmente imaginado.

Fórmula de Vieta parecía ineficaz en resolver el problema. Así que trató de utilizar ese %#% $ #%

Y luego intentar derivar ambos lados. Esto resultó ineficaz.

Así que ¿cómo sería un evalue la suma anterior?

Answer 1

Que consideramos la función meromorphic $$ f(z) = \frac{1}{(1-z)z^{p-1}}\cdot\frac{1}{1-(1-z)^p} \tag{1}$ $ tiene un polo múltiple en $z=0$ y polos simples en $1,z_1,\ldots z_{p-1}$, donde $z_j=1-x_j$.
La suma de sus residuos es cero, y

$$ \text{Res}\left(f(z),z=z_k\right) = \lim_{z\to z_k}\frac{z-z_k}{(1-z)z^{p-1}\left(1-(1-z)^p\right)}=\frac{1}{(1-z_k)z_k^{p-1}}\lim_{z\to z_k}\frac{1}{p(1-z)^{p-1}} $ $ tiene por norma de l'Hopital De. Se sigue que: %#% $ #% y el problema se reduce al cómputo de los dos residuos.