¿Puede, o debemos pasar por alto innumerables modelos de teoría de conjuntos?

Question

Esta pregunta se basa en un post que vi en la Física StackExchange: http://physics.stackexchange.com/questions/20370/does-the-banach-tarski-paradox-contradict-our-understanding-of-nature

Mientras que la pregunta se refiere a la física, también se refiere a las matemáticas. A partir de la tercera respuesta en la página:

Incluso dentro de la matemática pura, el mecanismo de la deducción lógica es siempre un número finito de cálculo. Si se te da bien definida colección de axiomas, o axioma de todos los esquemas de cuyos axiomas puede ser registrado por un programa de ordenador (esto incluye todas las medidas razonables teoría matemática), se puede escribir un programa de ordenador para deducir todas las consecuencias de estos axiomas. Gödel integridad teorema establece que cada deducción será alcanzado por las reglas de primer orden de la lógica, y que cuando hay un indecidible declaración, que no puede ser probada o refutada por los axiomas, siempre hay un modelo de los axiomas donde la afirmación es verdadera, y un modelo en el que la afirmación es falsa.

Esto significa que cuando se le da una teoría de conjuntos, que habla acerca del infinito no numerable de las colecciones, se puede entender que la teoría es en realidad hablando acerca de su contables de los modelos, y esto le da un contable computacional de la interpretación para cada teorema. Luego puede ignorar la jibber-jabber acerca de la teoría de hablar acerca de algunos de los enormes conjuntos, y considerar la teoría como hablar acerca de sus modelos contables.

(Usted también podría necesitar algunos de los contexto de la post, es bastante largo)

Ahora, mientras que un modelo contable de (digamos) ZFC es posible, lo que me he estado preguntando es ¿el "computacional" la naturaleza de la lógica de procesamiento de la idea de "enorme" establece como "jibber-jabber" que no necesita? O tal vez, tal vez una mejor manera de hacer la pregunta es: ¿cómo es que muchos (creo) los matemáticos imagino que hay que ser realmente un gran, la multitud innumerable cuando piensan, dicen, los Reales, en oposición a que "realmente" está contables dentro de una contables modelo de ZFC? ¿Cuál es el más fuerte de la justificación que se puede dar para este punto de vista y también para la vista (si es posible) que se menciona en el citado mensaje?

Supongo que esto también se vincula a una pregunta similar que me han estado preguntando acerca de: a saber, que es, dado el hecho de que no existe un solo modelo de ZFC, ¿cómo podemos confiar en que los objetos familiares, como los Reales son "lo que pensamos que son"? Es decir, estoy en lo correcto al creer que existen modelos de ZFC donde el modelo de los números naturales es (cuando se ve desde "fuera") un "no-modelo estándar de la aritmética", y por lo tanto los naturales y los Reales contienen no estándar de los números: los números que desde "fuera" parecen ser "infinitamente grande" y "infinitamente pequeño"? Si es así, entonces ¿cómo podemos reconciliar esto con el hecho de que nuestra intuición acerca de los reales dice que no hay tales cosas deben existir-aunque, por supuesto, ya no podemos "ver" dentro del modelo, no afecta a las matemáticas que se realiza dentro de ZFC?

Answer 1

Los teoremas de ZFC puede, de hecho, ser considerado como nos dice lo que sucede en contables de modelos de ZFC. Pero también nos dicen (algunos de) lo que sucede en el universo de todos los conjuntos, y que es el propósito principal para el que los axiomas de ZFC, se han inventado. El hecho de que los axiomas también han contables de los modelos es el precio (o uno de los precios que pagamos por el uso de primer orden de los axiomas. (El beneficio que compensa este costo es que la lógica de primer orden, admite un sistema completo de la lógica de los axiomas y reglas de inferencia.) Si alguien quiere ignorar el universo de todos los conjuntos y a ignorar los innumerables modelos, limitando su atención a los modelos contables, eso está bien, pero no veo que mucho de lo que se gana con ello, a menos que (1) adoptar una posición filosófica que, por alguna razón, se refiere a countably conjuntos infinitos como ACEPTAR whiule rechazar innumerables conjuntos o (2) usted disfrutar de decir "jibber-jabber". Personalmente, me parece no sólo más interesante, pero también más fácil pensar en los números reales que pensar, para todos los modelos contables de forma simultánea, sobre el número real de esos modelos.

Cerca del final del texto que usted ha citado, hay algo que no entiendo, se trata de dar "un contable computacional de la interpretación para cada teorema." Incluso si uno piensa sólo uno contables modelo de ZFC, la interpretación en el modelo de un típico teorema se involucra a numerosos anidada cuantificaciones sobre ese contables de dominio. Llamar a esta interpretación "computacional" parece un buen tramo. Si uno piensa no sólo de un modelo contable, sino de todos los modelos contables juntos, las cosas se ven aún menos computacional para mí. De hecho, la única computacional cosa que veo en esto es que hay un computacional, sintáctico proceso que genera (por deducción formal) todos los teoremas de ZFC. Pero ese proceso no depende de alguna manera de lo semántico interpretación (modelos contables, arbitrarias o modelos, o incluso el universo entero) que utilizamos para ZFC, o incluso si utilizamos una interpretación semántica.

Finalmente, para responder a otra parte de tu pregunta: Sí, el contable de modelos de ZFC se incluyen algunos de cuyos números naturales, visto desde el exterior, no son estándar. Esta, como la existencia de modelos contables, es una consecuencia de la utilización de la lógica de primer orden en la formulación de ZFC.

Answer 2

El problema aquí es que a menudo no trabajamos con modelos de $\sf ZFC$. Trabajamos con la totalidad del universo, y con su interior de los modelos. Esto significa que nuestro "modelo" no tiene cardinalidad, para empezar.

Los números reales del universo hacen una multitud innumerable, y puede ser una muy grande multitud innumerable, o una muy pequeña multitud innumerable. No podemos decidir a partir de los supuestos de $\sf ZFC$ ser fiel en nuestro universo. Por otra parte, a veces tendremos interior de los modelos de los que sólo saben acerca de un par de números reales y a veces tendremos interior de los modelos que saber acerca de un montón de números reales.

Modelo de la teoría nos dice que si hay un modelo contable de $\sf ZFC$, entonces hay un incontable modelo de $\sf ZFC$. Esto es muy similar a cualquier otro de primer orden de la teoría. Esto incluye los números reales (como un real-campo cerrado) y los números naturales. Es cierto, sin embargo, que no hay "canónica" de segundo orden del modelo de $\sf ZFC$.

A su texto citado, se trata de una persona que se burló de los inaccesible cardenal requisito en Solovay del trabajo (que más tarde fue demostrado ser esencial); y abiertamente declara que él cree que el continuo no puede ser un conjunto, sino una clase adecuada. No creo que este tipo de persona tiene un montón de decir en qué se $\sf ZFC$ y la moderna teoría de conjuntos relacionados con ella. Tenga en cuenta que también señala que si el axioma de elección para los conjuntos de tamaño $\Bbb R$ falla, luego de Banach-Tarski falla, lo que es otro error. Podemos tener el continuum bien ordenada, a decir de tamaño $\aleph_2$, pero en general el axioma de elección para las familias de tamaño $\aleph_2$ falla. En ese caso, el de Banach-Tarski paradoja sería todavía se mantienen.

---

No. La teoría de conjuntos no es sólo acerca de la computables y los cálculos de las pruebas. Uno no usa innumerables conjuntos, porque cuando se trabaja internamente para algunos modelos, no está permitido el uso de las enumeraciones que existen fuera (al menos no por los argumentos dentro del modelo, como hacemos a menudo).

Si uno desea base matemática de la teoría de conjuntos, entonces uno trabaja internamente a los modelos de $\sf ZFC$ o cualquier otro elegido la teoría de conjuntos. Trabajando internamente innumerables conjuntos son innumerables. Período.

Recientemente ha habido cierto movimiento hacia un punto de vista filosófico del multiverso, en particular por Joel D. Hamkins. Uno de los multiverso axiomas es que cada modelo de la teoría de conjuntos es contable en algún otro modelo de la teoría de conjuntos. Pero el multiverso no es esencial para el desarrollo de la matemática moderna dentro de la teoría de conjuntos, o la clásica de las matemáticas sin $\sf ZFC$ (sin ningún otro tipo de extensiones).

Permítanme terminar que la distinción de "interno" y "externo" a un modelo son nociones que bafle profesional de los matemáticos, y a veces incluso los teóricos. No ser despedido de su confusión, todos nos confundimos a veces.