Si $A,B,C$ son matrices estoy pensando en cómo demostrar que $$ A(B + C) = AB + AC$ $
¿Es posible mostrar sin sumas como $\sum_i a_i, ..., \sum_j b_j$? Parece si hago la prueba con muchos índices entonces es tedioso y no aprendo mucho de él.
Respuestas
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La prueba de este hecho en realidad no es tan terrible para todos: $$ (A(B+C))_{ij} = \sum_{k=1}^n A_{ik}(B+C)_{kj} = \sum_{k=1}^n A_{ik}(B_{kj}+C_{kj}) = \sum_{k=1}^n A_{ik}B_{kj} + \sum_{k=1}^n A_{ik}C_{kj}\\ = (AB)_{ij} + (AC)_{ij} = (AB+AC)_{ij}. $$ Sin embargo, estoy totalmente de acuerdo en que esta prueba no es particularmente esclarecedor. Al final del día, el hecho esencial acerca de la multiplicación de la matriz es este:
Para $A \in M_{m \times n}(F)$ $m \times n$ matriz, vamos a $L_A : F^n \to F^m$ ser la transformación lineal dada por $L_A(x) := A x$ $x \in F^n$ un vector columna. Entonces para cualquier $A \in M_{m \times n}(F)$$B \in M_{n \times p}(F)$, la composición de la $L_A \circ L_B : F^m \to F^p$ de las transformaciones lineales $L_B : F^p \to F^n$ $L_A : F^n \to F^m$ está dado por $$L_A \circ L_B = L_{AB}.$$
Así, la multiplicación de la matriz es sólo la imagen de la composición de transformaciones lineales en virtud de la identificación de las matrices con transformaciones lineales. En particular, entonces, la distributividad de la multiplicación de matrices es realmente sólo la distributividad de la composición de transformaciones lineales, que se presta a una mucho más transparente a prueba:
Si $S : V_2 \to V_3$ y $T$, $U : V_1 \to V_2$, entonces para cualquier $x \in V_1$, $$ (S \circ (T + U))(x) = S((T+U)(x)) = S(T(x)+U(x)) = S(T(x)) + S(U(x))\\ = (S \circ T)(x) + (S \circ U)(x) = (S \circ T + S \circ U)(x), $$ y, por tanto,$S \circ (T+U) = S \circ T + S \circ U$.
littleO
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12894
Podemos pensar en términos de transformaciones lineales en lugar de matrices.
Deje $L_A$ ser la transformación lineal definida por $L_A(x) = Ax$. Deje $L_B$ $L_C$ se define de manera similar. Tenga en cuenta que \begin{equation} L_A \circ (L_B + L_C) = L_A \circ L_B + L_A \circ L_C. \end{equation} De ello se desprende que $A(B + C) = AB + AC$.
En esta prueba, estoy asumiendo que "la matriz de la composición es el producto de las matrices." (La multiplicación de la matriz se define de modo que esto es cierto.) También estoy asumiendo que "la matriz de la suma es la suma de las matrices". Y estoy asumiendo que si dos transformaciones lineales son iguales, entonces sus matrices (con respecto a las bases dadas) son iguales.
GmonC
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En lugar de introducir un montón de índices, se puede reducir la verificación a los casos más simples que no necesitan de ellos. Dado que el coeficiente de la fila$~i$ y la columna$~j$ de una matriz de producto $A\cdot B$ sólo depende de la fila$~i$$~A$ y sólo en la columna de$~j$$~B$, productos de matriz puede ser dividido a lo largo de las filas de su primer factor, y a lo largo de las columnas del segundo factor. Para expresar esto de una manera más formal, vamos a $\def\ro{\operatorname{row}_i}\ro$ denotar la operación de extracción de la fila$~i$ a partir de una matriz y $\def\co{\operatorname{col}_j}\co$ la operación de extracción de la columna de$~j$, luego $$ \ro(A\cdot B)=\ro(A) \cdot B \qquad\text{y}\qquad \co(A\cdot B)=A \cdot \co(B). $$ Ahora una ecuación de matriz tiene si y sólo si el resultado de la aplicación de cualquier operación $\ro$ a ambos lados tiene, y también si y sólo si el resultado de la aplicación de cualquier operación $\co$ a ambos lados tiene.
El uso de este, el problema de la cuestión se reduce a probar que en el caso especial donde $A$ $1\times n$ de la matriz tiene una fila), y $B,C$ ambos $n\times 1$ matrices (cada uno de ellos tiene una columna). La prueba se hace straightfoward: $\sum_{i=1}^na_i(b_i+c_i)=\sum_{i=1}^n(a_ib_i+a_ic_i)$. Todavía hay un índice, pero esto es difícil de evitar, puesto que se debe utilizar la definición de multiplicación de matrices en algún lugar, y que la definición se requiere de una suma.
