no es cualquier extensión ciclotómicas de $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ $\mathbb{Q}$

Question

La pregunta es para probar que $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ no está en ninguna cyclotomic extensión de $\mathbb{Q}$.

Como yo no estaba tan seguro de cómo proceder, hice lo siguiente(que, posiblemente, puede no ser tan relevante para la Pregunta, pero espero que me diera alguna pista para continuar). Como $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ no es Galois sobre $\mathbb{Q}$, traté de Computación de la División de Campo y su correspondiente Grupo de galois y terminó en la conclusión de que el Grupo de Galois es isomorfo a $S_3$. Como $S_3$ no es abelian Grupo podría posiblemente ninguna de campo Sub $K$ de Cyclotomic campo con $Gal(\frac{K}{\mathbb{Q}})\cong S_3$.

Yo no puedo hacer nada después de esto.

Por favor, hágamelo saber voy en el camino correcto?? Cualquier sugerencia/sugerencia se agradece :) Gracias

Answer 1

Ya lo ha solucionado. Frase como sigue: subextensions Normal de extensiones abelianas son también abeliano. Por lo tanto, $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ no se contiene en cualquier extensión abelian, desde luego también figuraría su cierre normal $\mathbb{Q}(\zeta_3,\sqrt[3]{2})$, pero esto tiene Galois grupo $S_3$.