Intuición del significado de los grupos de homología

Question

Estoy estudiando la homología de grupos y estoy buscando para probar y desarrollar, si es posible, un poco más de intuición acerca de lo que significan en realidad. Yo sólo he sido el estudio de la homología por un corto tiempo, así que si es posible me gustaría que si esto podría ser mantenido relativamente simple, pero me imagino que es totalmente posible no hay una respuesta real a mi consulta de todos modos.

Como he dicho anteriormente, quiero ganar un poco de comprensión más profunda de lo que el n-ésimo grupo de homología en realidad significa: yo felizmente calcular la distancia por medio de Mayer-Vietoris, pero la verdad es que no me dan una gran cantidad de intuición acerca de lo que el n-ésimo grupo de homología en realidad significa. Por ejemplo, con homotopy grupos, el grupo fundamental es, en cierto sentido, una descripción de cómo bucles se comportan en el objeto en cuestión, y es obvio para mí por que eso es lo que es por decir, el toro o el círculo. Sin embargo, no tengo idea de qué, si algo, de hecho, estoy diciendo acerca de un triangulable objeto cuando hablo de ello por tener 0-th homología de este grupo o el 1 de homología grupo.

La mejor en la que he sido capaz de encontrar en línea o en mi limitada selección de libros es la breve descripción "intuitivamente, el cero de homología grupo cuenta los distintos piezas componen la forma y el da que muchos de los ejemplares de ℤ, mientras que los otros grupos de homología recuento de los diferentes tipos de agujeros". Lo de "diferentes tipos de agujeros' hay, a grandes rasgos? Soy consciente de que se pueden a menudo ser totalmente no-obvio lo que el orden bajo la homología de grupos son para algunos complicados de la construcción, pero tal vez en el más simple de los ejemplos podría ser más explicable. Están allí (simple) casos en los que yo podría decir, con solo ver algo como, por ejemplo, el toro, lo que a su cero-th de primer o segundo, etc. homología de grupo se basa en la naturaleza del objeto? Supongo que en el cero-th caso es que, como mi fuente (http://teamikaria.com/hddb/wiki/Homology_groups) anterior, dice, relacionados con el número de distintos pedazos. Podemos profundizar más que esto para los otros grupos de homología?

Cualquier libro/sitio web sugerencias sería bienvenida (preferiblemente en sitios web como yo estoy en ninguna parte cerca de una biblioteca!) - He Hatcher, pero no mucho más, y no he recogido tanto como el deseo de que solo. Por supuesto sé que hay mucho que no sabemos acerca de la homología de grupos incluso hoy en día, así que no espero que algún mágico que todo lo abarca respuesta, pero cualquier idea que usted podría aportar sería apreciada. Espero que esta pregunta es apropiado para SÍ de las Matemáticas, disculpas si no! -M

Answer 1

Vamos a limitarnos a orientable espacios que son homotópica a CW complejos. En dimensiones bajas, hay una forma muy intuitiva a pensar de homología de grupos. Básicamente, el rango de los $$n-ésimo dimensiones de homología grupo es la cantidad de $$n-dimensional de "agujeros" en el espacio. Como se dijo en su ejemplo, por $H_0$, este es el recuento de los componentes conectados. Mover a $H_1$, esperamos contar literal agujeros. El toro tiene $H_1\cong \mathbb Z \oplus \mathbb Z$, ya que tiene dos agujeros, uno dentro y otro fuera.

Usted puede pensar en un 2-dimensional agujero como un volumen vacío. La mejor analogía que he escuchado es la de pensar el espacio como un objeto inflable. El rango de la segunda homología grupo es el número de conectores diferentes que tendría que soplar en el aire para inflarlo. El toro tiene un volumen vacío, de manera que solo necesitan un enchufe para inflarlo. Si usted toma la cuña de dos 2-esferas, tendría dos diferentes tipos de enchufe para inflarlo, uno para cada volumen vacío, por lo que tiene rango 2.

Como es habitual en la topología, ahora la onda nuestras manos y decir "funciona de la misma para dimensiones superiores."

Answer 2

"Los ciclos de modulo límites" se puede obtener sorprendentemente mucho. Recordemos que para un simplicial complejo de $X$, $n^{th}$ homología $H_n(X)$ es $Z_n/B_n$, donde $Z_n = \ker(d_n : C_n \C_{n-1})$ es el grupo de ciclos y $B_n = \text{im}(d_{n+1} : C_{n+1} \a C_n)$ es el grupo de los límites. Algunos de bajas dimensiones casos:

• Cuando $n = 0$, un ciclo es una combinación lineal de 0 $$-simplices en $X$, y un límite es una combinación lineal de 0 $$-simplices, acostado en la misma componente conectado de $X$ tales que la suma de sus coeficientes es cero. Por lo que $Z_0/B_0$ es precisamente el libre abelian grupo en los componentes conectados de $X$.
• Cuando $n = 1$, un ciclo es exactamente lo que parece: una combinación lineal de los ciclos en $X$ (cerrado los caminos hechos de $1$-simplices). Un límite también es exactamente lo que suena: una combinación lineal de los ciclos en $X$, que se unía $2$-simplices. Por lo que $Z_1/B_1$ describe el fracaso de $1$-ciclos en $X$ obligado a $2$-simplices (que es el sentido preciso en el que las medidas de "$1$-dimensiones de los agujeros").

Para $n \ge 2$ tengo el problema de la manera más concisa que describe lo que un ciclo está más allá de "una combinación lineal de $n$-simplices con límite cero." Creo que esto es más o menos como una combinación lineal de las colecciones de $n$-simplices que en conjunto forman una $$n-esfera en $X$, al menos lo suficientemente agradable triangulaciones. Un límite es una combinación lineal de esas cosas que obligados a $n+1$-simplices. Así que de nuevo $Z_n/B_n$ medidas de la falta de $$n-ciclos enlazados $n+1$-simplices, que es el sentido preciso en que las medidas "$n$-dimensiones de los agujeros."

$H_0$ y $H_1$ son probablemente los más fáciles de identificar que los otros en general, desde los componentes conectados y son intuitivos y $H_1$ es sólo el abelianization del grupo fundamental. Si $X$ es un conectada $n$-colector, luego $H_n \cong \mathbb{Z}$ si $X$ es orientable y $0$ de lo contrario, la idea de que un $n$-ciclo tiene que involucrar a todos los de la $$n-simplices en $X$ adecuadamente orientado de manera que sus límites cancelar, y como una combinación lineal es único hasta la multiplicación escalar y equivalente a proporcionar una orientación para $X$. Y si $X$ es una compacta orientable $n$-colector, entonces la dualidad de Poincaré indirectamente se relaciona $H_1$ $H_{n-1}$.

Answer 3

A un cierto punto, no hay gran respuesta que trabaja en completar la generalidad, o al menos en una manera en que usted puede tener una razonable intuición acerca de él, lo suficiente para ver de un vistazo lo que la homología de alta dimensiones de los espacios. Parte de esto es debido a la dificultad de imaginándose a espacios de dimensiones superiores. Sin embargo, podemos obtener una visión de lo que la homología de los registros considerando algunos ejemplos.

En primer lugar, la comprensión de los detalles más finos de la homología es difícil, así que vamos a ver de una forma más simple de todos los idiomas, los números de betti $b_i=\dim_{\mathbb{Q}} H_i(X;\mathbb{Q})$. Esto prescindiendo de todo tipo de información sutil que es seguro ignorar para comenzar a construir su intuición.

$b_0$ es el número de componentes conectados. $H_1(X)$ es la abelianization de $\pi_1(X)$, entonces $b_1$ es el número de "circuitos independientes" en $X$, o el número de agujeros . El mejor ejemplo de este aspecto en las superficies. Tome los $3$-dimensiones de la esfera, y adjuntar $g$ asas. Ahora, toma la superficie, que es el límite de este tres dimensiones del objeto. Para cada mano, tenemos un bucle que va alrededor de la manija (en la forma en que usted puede recoger una taza de café), y un bucle que va desde el cuerpo, en el mango y la espalda de nuevo. Para esto, imagine que dentro de los $3$-espacio tridimensional, se tomaron una banda de goma que fue a través de la manija, y reducido a la banda hasta que se tensa contra la superficie.

Así que tenemos un total de $b_0=1$, $b_1=2g$, y $b_2=1$ (En general, con una compacta orientable $n$-colector, $b_n=1$). Sin embargo, en lugar de la visualización de la superficie como la que proviene de asociar los identificadores a los $3$-esfera, podemos ver como la perforación de $g$ agujeros a través de la esfera. El hecho de que $b_1=2g$ y $g$ puede ser un poco desconcertante, ya que tenemos un total de $g$ agujeros. Esto se solucione de alguna manera por el hecho de que el mango-cuerpo (el objeto antes de que tomáramos la superficie) es homotopy equivalente a una cuña de $g$ círculos, y por lo que no tiene $b_1=g$. Sin embargo, esto muestra cuán sutil es decir que $b_1$ es "el número de agujeros", como se le hace difícil decir qué es exactamente un agujero.

Para tener una idea acerca de lo que está pasando en la otra directamente, vamos a considerar en $\mathbb{R}^n\setminus \{0\}$. Esto es poner un agujero en el espacio. Vamos a tratar de detectar el agujero por el uso de las esferas. No podemos cubrir el agujero en el interior de una $S^k$ con $k<n-1$, porque no hay suficiente espacio ambiental que podemos mover la esfera pasado el agujero. Sin embargo, podemos encierran dentro de una $n-1$ esfera. Usted puede construir un poco más de la intuición acerca de la detección de agujeros con esferas mirando en $\mathbb{R}^n\setminus \mathbb{R}^m$, y el pensamiento acerca de cuándo podemos revestir el "agujero" en el interior de una esfera.

Por desgracia, esto tiene mucho más que ver con la mayor homotopy grupos. Hay relaciones entre homología y homotopy grupos, pero la conexión es sutil. Por ejemplo, mientras que el Hurewicz isomorfismo teorema da una estrecha relación en una dimensión (para cualquier espacio en particular), no es un Hurewicz mapa en todas las dimensiones, pero no es en general fácil de entender lo que hace.

Una buena manera de entender la homología de CW complejos es con celular de homología. En general, este es todavía difícil de entender, pero si usted tiene un búfer entre las dimensiones de las esferas utilizadas para construir el espacio (por ejemplo, el complejo de espacios proyectivos, que se construye, incluso de dimensiones en las esferas), la homología es contar las esferas utilizado para construir el espacio.

Más allá de estas cosas, sólo puedo recomendar que usted deje que su intuición se construye a partir de ejemplos. Lamentablemente, no hay una varita mágica que le dará una gran comprensión.

Answer 4

Las preguntas de lo que debe ser la homología de la teoría son bastante antiguos, aparentemente con el mayor de los papeles en los números de Betti y coeficientes de torsión muy vaga acerca de lo que fueron los ciclos y los límites. Ver Dieudonné el libro sobre la historia de la topología algebraica. Poincaré hizo un nuevo comienzo con cadenas como formal sumas de orientado simplices y esto se ha desarrollado desde particularmente con homología singular.

Nuestro nuevo libro, "Nonabelian topología algebraica: filtrada espacios, cruzó complejos, cúbica homotopy groupoids" EMS Tratados en Matemáticas vol 15 (2011) hace un bastante nuevo enfoque, basado en la homotopy teoría, sin ningún simplicial aproximación. Ver mi página web http://pages.bangor.ac.uk/~mas010/nonab-a-t.html para comentarios y en formato pdf. Es una historia complicada, pero la Parte I describe la historia, las intuiciones y las dimensiones 1 y 2.

El 28 de febrero de 2015 Más sobre "Anomalías en topología algebraica" y el fondo para el presente trabajo es en esta charla en Galway en diciembre de 2014. La directa y homotopical enfoque para celular de homología no requiere de nuevas ideas y de las pruebas que implican estricto mayor homotopy groupoids definido para cualquier filtrada espacio.

21 de octubre de 2015. Sólo para transmitir los ingredientes clave: En esta teoría, un $$n de la cadena en un filtrado del espacio $X_*$ es un elemento de $\pi_1(X_1,X_0)$ para $n=1$ y $\pi_n(X_n, X_{n-1},x)$ $x \in X_0$ si $n >1$ (e $0$cadena es un punto de $X_0$). Estos son algunos de los ingredientes de $\Pi(X*)$, el fundamental cruzado complejo de la filtrada espacio $X_*$. Por lo que $\Pi$ es homotopically definido. Para llegar a los cálculos, se necesita un Seifert-van Kampen tipo de teorema de $\Pi$, lo cual es demostrado mediante cúbica groupoid métodos; estos permiten "algebraica inversos a la subdivisión" en todas las dimensiones. Así que es bastante complicado en la teoría; pero también es singular la teoría de la homología.

Answer 5

Podemos leer algunos intuición geométrica sobre la homología de grupos directamente de la definición de la singular homología de grupos. También podemos echar un vistazo a celulares de homología a ver lo que podemos extraer.

Singular de homología. Deje que $X$ ser un espacio, y dejar $S:=S_\cdot X$ ser su singular complejo de cadena con el diferencial (o mapa de los límites) $d_\cdot$. Llamamos a $Z_n(S):=\text{ker}d_n$ $$n-ciclos de $S$, y $B_n(S):=\text{im}d_{n+1}$ $n$-límites de $S$. Un par de $f,g$ de $n$-cadenas de $S$ son homólogas si su diferencia de $f-g$ es un límite. En otras palabras, si existe una $n+1$cadena $h$ tales que $dh=f-g$; realmente ¿ quiere decir que están en un límite!

Esto es análogo a homotopy. Un par de $f,g:X\to de$ Y se homotópica si existe un mapa de $h:X\times I\a Y$ que

desplazamientos (donde $i_0$ y $i_1$ son la inclusión de mapas en $0$ y $de$ 1, respectivamente). En otras palabras, dos mapas de $f,g:X\to de$ Y se homotópica si son restricciones a la frontera de un mapa completo $h:X\to Y$.

Intuitivamente, la homología encuentra $n$-agujeros, y, de hecho, diferentes tipos de $n$-agujeros. Una manera de verlo es pensar que la homología encuentra agujeros por seguir la pista de los cuales $n$-cadenas son el límite de un $(n+1)$de la cadena. De hecho, si usted no puede llenar en su $n$de la cadena debe haber algo en el espacio que falta.

Un experimento de pensamiento, que me ayudó: Podemos tratar de considerar los diferentes espacios, y tratar de construir una cadena o dos, que no son el límite superior de la cadena. ¿Qué se puede por ejemplo decir acerca de una cadena de darse cuenta de que el círculo centrado en $0$, en el plano perforado en $0$? Lo que pasa de nosotros tenemos dos de estas cadenas? Son homólogos y cómo?

Celular de homología. Probablemente podemos leer aún más fuerte intuición geométrica de celulares de homología. De hecho, si $X$ es un CW complejo, entonces tiene una filtración de $X_0\subconjunto \cdots \subconjunto X$, y es natural pensar que la homología de los $X_i$ junto con los datos de la inclusión de mapas (cómo $X$ es pegadas) debe determinar la homología de $X$.

Este es de hecho el caso, y, de hecho, en un muy elegante de la moda: El espacio $X_i/X_{i-1}$ es una cuña de $i$-esferas y como tal ha de libre abelian homología concentrado en $i$ (precisamente, si $k$ es la cantidad de $i$-esferas de $X_i/X_{i-1}$, entonces $\tilde H_j(X_i/X_{i-1})=\mathbb{Z}^k$ por $i=j$ y $0$ lo contrario). El uso de este y de los datos de la filtración de $X$ a su esqueleto, podemos vincular los grupos juntos en una larga secuencia exacta que produce la homología de datos basada en los grados de pegar los mapas (en otras palabras, los datos acerca de cómo $X$ es pegadas de esferas y discos).

Esto me recuerda que debo leer más acerca de celular de homología; voy a volver a esta respuesta!