Cubriendo el teorema para espacios de Banach

Question

¿Hay cualquier espacio de Banach $X$ $\operatorname{dim}(X)=\infty$ satisfacción $S_X=\lbrace x\in X| |x|=1\rbrace $ está cubierto por un $B_1,B_2,\ldots,B_N$, que son las bolas en $B_N$ $X$ $0\notin B_i$ $i=1,\ldots, N$?

Puedo encontrar algunas literaturas sobre contable muchos casos bola (e.g. T. W. Koerner, J. Lond. Matemáticas. Sócrates (1970) 643-646). También, puedo probar que no hay ningún tal Hilbert espacio $X$ (usando, por ejemplo, bases ortonormales?)

Pero no pude encontrar ninguna literatura sobre el caso finito bola (que es mi pregunta). ¿Es trivial?

Answer 1

Si $\mathrm{dim}(X)=+\infty$ y $S_X\subset\bigcup_{j=1}^NB_j$ donde estén cerradas $B_j$ bolas ($0\notin B_j$ para todos $j$) entonces desde el débil cierre de $S_X$ es $\left\{x\in X, \lVert x\rVert \leq 1\right\}$. Puesto que cada $B_j$ está cerrado por la topología dada por la norma y convexa sabemos que cada $B_j$ está cerrada para la topología débil. Por lo tanto obtenemos $\left\{x\in X, \lVert x\rVert \leq 1\right\} \subset\bigcup_{j=1}^N B_j$. Llegamos a una contradicción ya que asumimos que $0\notin \bigcup_{j=1}^NB_j$.

Answer 2

Suponiendo que te refieres a bolas abiertas $B_j$. De Hahn-Banach, existe un funcional lineal $f_j$ que es positiva en $B_j$. El conjunto de $\{x\in S_X : f_j(x)=0, 1\le j\le n\}$ es disjunto de la Unión y no si $X$ tiene dimensión $> n$.