Clasificación de espacios topológicos "agradables" en conjuntos (en ocasiones patológicas)

Question

Antecedentes:

Por una singular convergencia (UC) topología, me refiero a una topología en virtud de la cual las secuencias de converger a un máximo de un punto.

Supongamos que tenemos un conjunto de $X$ y una topología $\mathcal T$$X$. Puede ser fácilmente demostrado que cada uno de los siguientes implica la siguiente:

(1) $\mathcal T$ es la topología discreta en $X$.

(2) $\mathcal T$ es un Hausdorff la topología en $X$.

(3) $\mathcal T$ es una topología de comunicaciones unificadas en $X$.

(4) $\mathcal T$ T$_1$ topología en $X$.

Por otra parte, (4) $\implies$ (3) si y sólo si $X$ es Dedekind-finito; (3) $\implies$ (1) si y sólo si $X$ es finito.

También he mostrado los siguientes:

Supongamos que $X$ es un conjunto amorfo, $\mathcal T$ un Hausdorff la topología en $X$, $C:=\bigl\{x\in X:\{x\}\in\mathcal T\bigr\}$ el conjunto de $\mathcal T$-clopen puntos de $X$. A continuación, $C$ es cofinite en $X$, y poner $n=|X\setminus C|,$ los siguientes son equivalentes:

(a) $n\ne 0.$

(b) $\langle X,\mathcal T\rangle$ es compacto; en particular, una $n$-punto de compactification del espacio discreto en $C$.

(c) $\mathcal T$ no es la topología discreta en $X$.

A partir de esto, podemos ver que para amorfo $X$, (2) no implica (1)--así que, a menos que allí no son ninguna amorfo conjuntos, se sigue que D-finitud no necesitan ser suficiente para (2) $\implies$ (1).

Por último, si $X$ es incontable, entonces el cocountable la topología en $X$ muestra que (3) no implica (2).

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La Pregunta: tengo la intención de jugar más en el reino entre (1) y (2) más adelante (por ejemplo: regular Hausdorff, normal Hausdorff). En el momento, sin embargo, me gustaría perfeccionar lo que ya he medida de lo posible. Específicamente, estoy curioso acerca de lo siguiente:

• Se sabe para ser verdad (3) $\implies$ (2) si y sólo si $X$ es finito? Si es así, ¿alguien sabe de un no-Hausdorff topología de comunicaciones unificadas en un countably conjunto infinito?
• Es allí conoce a ser un equivalente a la condición en la cardinalidad de a$X$, de modo que (2) $\implies$ (1)?

Answer 1

Para tu primera pregunta, la compactación de un punto de los racionales es $KC$ (sistemas compactos están cerradas) y por lo tanto, $UC$, pero no Hausdorff.

Añadido: Para la segunda pregunta, supongamos que $X$ es infinito. Corrección $p\in X$, que $$\mathscr{B}=\big\{\{x\}:x\in X\setminus\{p\}\big\}\cup\big\{X\setminus F:F\subseteq X\setminus\{p\}\text{ is finite}\big\}\;,$$ and let $\tau$ be the topology generated by $\mathscr{B}$. Clearly $\langle X, \tau\rangle$ es un espacio de Hausdorff, y no es discreta. Por lo tanto, (2) implica (1) sólo para espacios finitos.