¿Se puede repartir $\mathbb{N}$, el conjunto de números naturales, en un número finito de subconjuntos que están en progresión aritmética con pasos distintos?
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nick
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La respuesta es no. He aquí una prueba:
La prueba por Contradicción:
Supongamos que $\mathbb{N}$ puede ser dividido en un número finito de subconjuntos de decir: $$$$ $$ \{a_1, a_1 + d_1, a_1 + 2d_1,...\}, \{a_2, a_2 + d_2,...\},...\{a_m, a_m + d_m, ...\} $$
$$$$ A continuación, para |z| < 1, $\sum_{n=0}^\infty z^n = \sum_{k=0}^\infty z^{a_1 + kd_1} + ... + \sum_{k=0}^\infty z^{a_m + kd_m}$
La convergencia de la serie geométrica, la anterior se simplifica a:
$$ \frac{1}{1-z} = \frac{z^{a_1}}{1-z^{d_1}} + ... + \frac{z^{a_m}}{1-z^{d_m}} $$ Tenga en cuenta que el lado izquierdo tiene un simple polo sólo en z = 1. Sin embargo, el lado derecho puede ser escrito como
$$ \frac{z^{a_1}(1-z^{d_2})***(1-z^{d_m}) + ... + z^{a_m}(1-z^{d_1})***(1-z^{d_m-1})}{(1-z^{d_1})(1-z^{d_2})***(1-z^{d_m})} $$
Dado que los tamaños de paso, la d, son todos distintos, la expresión anterior tiene polos en el círculo unidad, $\{z: |z|=1\}$, en puntos no es igual a 1. Esto significa que esta expresión en los barrios de los polos ser arbitrariamente grande. Desde los barrios cruzan la unidad de disco, $\{z: |z|<1\}$, $\frac{1}{1-z}$ también es arbitrariamente grande en esos barrios. Esto, sin embargo, contradice ese $\frac{1}{1-z}$ tiene exactamente un polo en z=1.
