Derivación del factor de Boltzmann de la mecánica estadística

Question

He visto similares derivación del factor de Boltzmann muchas veces antes, (http://micro.stanford.edu/~caiwei/me334/Chap8_Canonical_Ensemble_v04.pdf , por ejemplo), que creo que es incompleta.

El argumento es como sigue:

Considerar el sistema consiste en un pequeño objeto en contacto con un depósito grande. Deje que la energía total se $U$. Luego, cuando nuestro objeto tiene energía $E$, el embalse de la energía $U-E$. Deje que el número de accesibles estado del embalse en función de su energía $x$$\Omega(x)$. Entonces la probabilidad de encontrar el objeto con energía $E$ es

$$p(E) \propto \Omega(U-E)$$

Considere la posibilidad de la expansión de Taylor de $\ln\Omega(x)$: $$\ln\Omega(U-E)\approx \ln \Omega(U)-\frac{\partial \ln\Omega(x)}{\partial x}\bigg|_{x=U}E$$ Definir $$\frac{1}{k T}=\frac{\partial \ln\Omega(x)}{\partial x}\bigg|_{x=U}$$ Luego exponentiating ambos lados, tenemos $$\Omega(U-E)\approx \Omega(U)\exp(-E/kT)$$ Así $$p(E)\propto \exp(-E/kT)$$

Este debe ser incompleta porque el anterior se puede hacer a cualquiera de las funciones de probar que son exponenciales.

Por ejemplo, podemos mostrar que para cualquier función de $f(x)$, $$f(x) \approx A\exp[B(x-x_0)]$$ alrededor de algunos $x_0$ por los de arriba "prueba": $$\ln f(x)\approx \ln f(x_0)+\frac{d \ln f(x)}{dx}\bigg|_{x_0}(x-x_0)$$ $$f(x) \approx f(x_0)\exp\left[\frac{d \ln f(x)}{dx}\bigg|_{x_0}(x-x_0)\right]$$

Además, también es posible demostrar que $f(x) \approx g(x)$ $x_0$ para cualquier función de $g$ le gusta. Por ejemplo,

$$\sin(f(x))\approx \sin(f(x_0))+\cos(f(x_0))f'(x_0)(x-x_0)$$ $$f(x) \approx \sin^{-1}\left[\sin(f(x_0))+\cos(f(x_0))f'(x_0)(x-x_0)\right]$$

El fallo es, obviamente, debido a una caída de la los términos de orden superior en la serie de Taylor. Así que debe ser algo muy especial acerca de $\ln$, en particular, que podemos caer los términos de orden superior en la expansión de la serie de $\ln\Omega$, y, a continuación, exponentiate el resultado. Supongo que es debido a que los términos de orden superior a todos se desvanecen en el límite termodinámico?

Puede alguien decirme lo que me estoy perdiendo. Su ayuda es muy apreciada. Saludos!

Answer 1

Creo que la pregunta es ¿por qué la definición estadística de la temperatura es significativo.

$$ \frac{1}{k T}=\frac{\partial \ln\Omega(x)}{\partial x}\bigg|_{x=U} $$

La temperatura es sólo un número que vamos a asociar a nuestra distribución de probabilidad $\Omega$ este parámetro de "Energía" varía de $U \to U-E$.

El sistema canónico es construido a partir de un gran número (de Avogadro constante es igual a $10^{23}$) de los sistemas dinámicos con energía arrastrando los pies hacia atrás y adelante entre ellos. No tenemos ninguna manera de seguir la pista de todos ellos.

¿Cuál es la forma más probable de la partición de la energía? Vamos a suponer una distribución multinomial de la Energía, y esta partición está cambiando con el tiempo.

$$ \mathbb{P}[E = E_1(t) + \dots + E_N(t)] = \binom{M}{M_1(t), \dots, M_N(t)} p_1^{M_1(t)}\dots p_N^{M_N(t)}$$

El uso de la Ergodic hipótesis suponemos que algunos "equibrium" es la de conseguir, pero realmente demostrar que. ¿El tiempo de alcanzar la "equalibrium" ??? De todos modos, suponiendo que ergodicity, podemos dejar el tiempo.

$$ \mathbb{P}[E = E_1 + \dots + E_N] = \binom{M}{M_1, \dots, M_N} p_1^{M_1}\dots p_N^{M_N} \approx exp \left[ \sum p_i \log p_i \right]$$

Intuitivamente hablando, la mayoría de probabilidades de energía debe ser equidistributed entre todos los sistemas. De hecho, la multinomial coeffients se maximiza cuando se $M_i \propto p_i$. Justificando la segunda ecuación.

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Hizo comprar mi suposición de que $\Omega$ es multinomial?

La intercambiabilidad y ergodicity hipótesis hacen de este argumento realmente inestable, como es mi confianza en mi propio manejo de este tema. Sin embargo, la mayoría de los libros de texto asuma que es verdad sin validar.