¿Dónde está la "Supersimetría" en la prueba de Witten de las desigualdades de Morse ( papel original y esquema de pruebas para matemáticos )? ¿Espero que alguien pueda aportar una comprensión intuitiva? Soy estudiante de matemáticas, así que no tengo un conocimiento muy amplio de la física.
Respuesta
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TL;DR: Es el producto de cuña $\wedge$ y el derivada/diferencial exterior $d$ (que se eleva al cuadrado a cero $d^2=0$ ) que dan lugar a Elementos de Grassmann-impar y supersimetría .
Más concretamente, la Ref. 1 escribe en primer lugar un Álgebra SUSY ${\cal A}$
$$\tag{10} \{Q_1,Q_1\}_+~=~2H~=~\{Q_2,Q_2\}_+, \qquad \{Q_1,Q_2\}_+~=~0, $$
atravesada por dos elementos de Grassmann-impar $Q_i$ y un elemento par de Grassmann $H$ ,
$$\tag{9} Q_1 ~:=~d+d^{\ast}, \qquad Q_2 ~:=~i(d-d^{\ast}), \qquad H~:=~\Delta~=~\{d,d^{\ast}\}_+. $$
Aquí $d^{\ast}\equiv\delta $ es la codiferencial (=adjoint de la diferencial exterior $d$ ) y $\Delta$ es el operador de Laplace-de Rham sobre formas exteriores.
El álgebra SUSY relevante ${\cal A}_t$ es una versión retorcida/conjugada de las ec. (9) y (10), donde $d$ y $d^{\ast}$ se sustituyen por
$$\tag{11} d_t ~:=~ e^{-ht}de^{ht}, \qquad d_t^{\ast} ~=~ e^{ht}d^{\ast}e^{-ht},$$
respectivamente. Aquí $h$ es una función Morse (de valor real), y $t\in\mathbb{R}$ un parámetro real. Véase la Ref. 1 para más detalles.
Referencias:
- E. Witten, Supersimetría y teoría de Morse, J. Diff, Geom. 17, (1982) 661 ; Capítulo 2.
