En La Wikipedia:
Un subconjunto $S$ $\mathbb{R}^n$ está vinculada con respecto a la distancia Euclidiana si y sólo si es delimitada como subconjunto de $\mathbb{R}^n$ con el pedido de productos.
De manera más general, me preguntaba para un conjunto que es a la vez un espacio métrico y parcialmente conjunto ordenado, cuando el acotamiento de un subconjunto respecto de la métrica y respecto de la orden de acuerdo, o sólo uno implica al otro y no al revés?
Gracias y saludos!
Para un analista funcional, el escenario natural para preguntas de este tipo es la teoría de retículos de Banach, es decir, espacios vectoriales con una norma y una estructura de celosía. Los ejemplos típicos son las $L^p$-espacios y estas son muy útiles para mirar el tipo de relaciones entre las dos estructuras que parecen ser de su interés. Particularmente sugerentes son los dos casos extremos, $p=1$ (donde la norma es de orden continuo) y $p=\infty$ (donde la propiedad que usted menciona---equivalencia de acotamiento en la topológico y en el orden en el sentido---es válido).
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