¿Existe alguna ventaja en el $a \equiv b\;\;(\mathrm{mod}\;c)$ ¿anotación?

Question

Las congruencias módulo de clases de equivalencia distintas de las definidas por los restos de la división son omnipresentes en las matemáticas contemporáneas. No es raro que un mismo argumento matemático se refiera a múltiples relaciones de equivalencia, utilizando notaciones ad hoc (pero bastante claras), como $\equiv_0$ , $\equiv_1$ , $\equiv_f$ , $\sim_f$ etc.

A la luz de esta práctica (ya bien establecida), me parece un poco extraño que el $a \equiv b\;\;(\mathrm{mod}\;c)$ sigue en boga para denotar las clases de congruencia modulo resto. Incluso el virtuoso de la tipografía matemática y la notación (por no hablar del autor de $\TeX$ ) Donald Knuth lo utiliza (al menos en el libro Matemáticas concretas del que es coautor).

Estoy aturdido por esto; como la notación matemática va, $a \equiv b\;\;(\mathrm{mod}\;c)$ (o incluso su variante sin paréntesis, $a\equiv b\;\;\mathrm{mod}\;c$ ) me parece singularmente engorroso. Me hace preguntarme: ¿me estoy perdiendo algo?

Dejando de lado lo "extrínseco" 1 consideraciones como la "conformidad con la convención", la "deferencia a la tradición", la "reverencia a Gauss", etc., ¿el $a \equiv b\;\;(\!\!\!\mod{c})$ notación ofrecen alguna ventaja significativa sobre la simple $a \equiv_c b$ ?

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_{¹No se trata de un comentario sobre el fondo de estas razones extrínsecas. Simplemente no me interesan en este post. Mi objetivo aquí es centrarse sólo en la cuestión de la utilidad intrínseca como notación matemática, y especialmente como <em>Escriba en </em>notación matemática.}

Answer 1

Se me ocurren inmediatamente algunas razones:

$(1)\ \, $ El alcance de $\!\pmod m$ a menudo abarca más que una sola congruencia, por ejemplo, puede incluir toda una línea de cálculos de congruencia $\,a\equiv b\equiv \cdots \equiv c.\,$ Al desplazar este contexto por defecto al margen (final de línea) se elimina la notación redundante que puede ofuscar la esencia del asunto.

$(2)\ \, $ A menudo, el "módulo" es una expresión grande, por lo que no cabe cómodamente en un subíndice de los símbolos de congruencia, por ejemplo, en un post de ayer He trabajado $\!\pmod{ x^2+x-3}$

$(3)\ \, $ En anillos más generales se suele trabajar en módulo múltiples elementos (es decir no principal ideales), $ $ Por ejemplo $\pmod{n,\ a+b\sqrt{d}},\, $ o $\pmod{n,f(x)}\ $ o $ \pmod{x,\, y^2-x},\,$ que, de nuevo, son demasiado grandes para los subíndices, y se absorben mejor en el contexto ambiental.