Inscripción de un triángulo equilátero en un rectángulo

Question

El problema: ¿Cuál es el área del mayor triángulo equilátero que puede inscribirse en un rectángulo de lados $10$ y $11$ ?

(El problema proviene de un antiguo concurso de matemáticas del instituto. Creo que es el AIME o el ARML, pero he perdido la fuente).

Answer 1

La respuesta es $l=\frac{10}{\cos x}=\frac{11}{\cos \frac{\pi}{6}-x}$ . (Resolverlo $x=\tan^{-1}(\frac{11}{5}-\sqrt{3})$ http://www.wolframalpha.com/input/?i=arctan+%28%5Cfrac%7B11%7D%7B5%7D-%5Csqrt%7B3%7D%29 , l= http://www.wolframalpha.com/input/?i=10%2Fcos%28arctan+%28%5Cfrac%7B11%7D%7B5%7D-%5Csqrt%7B3%7D%29%29 )

Tenemos que encontrar $\max l$ con $l\cos x\le 10 $ y $l\cos \frac{\pi}{6}-x\le 11$ para $0\le x\le \frac{\pi}{6}$ . Consideraremos $\min_x\max\{ \frac{\cos x}{10}, \frac{\cos\frac{\pi}{6}-x}{11}\}$ . Desde $f(x)=\frac{\cos x}{10}$ disminuye y $g(x)=\frac{\cos\frac{\pi}{6}-x}{11}$ aumenta, y $f(0)>g(0), f(\frac{\pi}{6})<g(\frac{\pi}{6})$ El $\min\max $ se obtendrá en el punto de intersección $f(x)=g(x)$ .