¿Por qué la suma y la multiplicación son conmutativas, pero no la exponenciación?

Question

Sabemos que los operadores de suma y multiplicación son conmutativos, pero el operador de exponenciación no lo es. Mi pregunta es por qué .

Como antecedente existen multitud de esquemas matemáticos que pueden utilizarse para definir estos operadores. Uno de ellos es hiperoperación donde
$H_0(a,b) = b+1$ (operación de sucesión)
$H_1(a,b) = a+b$ (adición op)
$H_2(a,b) = ab $ (operación de multiplicación)
$H_3(a,b) = a^b$ (op. de exponenciación)
$H_4(a,b) = a\uparrow \uparrow b$ (tetration op: $a^{(a^{(...a)})}$ anidado $b$ veces )
etc.

En este caso no me parece obvio por qué $H_1(a,b)=H_1(b,a)$ y $H_2(a,b)=H_2(b,a)$ pero no $H_3(a,b)=H_3(b,a)$

¿Puede alguien explicar por qué se rompe esta simetría, de forma razonablemente intuitiva?

Gracias.

Answer 1

Mi opinión personal es que la exponencial no se considera naturalmente el siguiente paso en la progresión de la suma a la multiplicación, por lo que no hay razón para esperar que comparta propiedades con las otras dos.

Fíjate en lo que pasa si exiges que todas tus cantidades tengan unidades. La suma es una operación que se realiza con dos cantidades con las mismas unidades: por ejemplo, puedes sumar dos distancias para obtener otra distancia. La multiplicación es una operación que se realiza con dos cantidades con unidades $a$ y $b$ para obtener una cantidad con unidades $ab$ Por ejemplo, puedes multiplicar dos distancias para obtener un área.

Sin embargo, usted no puede exponer dos cantidades unitales. En informática $a^b$ la cantidad $b$ tiene que ser sin unidades o, de lo contrario, no hay una forma sensata de asignar un valor al resultado. Esto nos dice que $a$ y $b$ se tratan de forma muy diferente, por lo que no hay razón para esperar que cambiarlos sea una operación físicamente significativa.

Como he comentado en math.SE antes de El exponencial tiene muchas generalizaciones en matemáticas, y en la mayoría de ellas la base y el exponente son objetos muy diferentes: de hecho, en la mayoría de ellas la base es sólo $e$ .

Answer 2

He aquí una reflexión, que no es una respuesta completa, pero que es demasiado larga para un comentario.

Adición $a + b$ significa algo así como: Añadir $1$ a $a$ , $b$ veces $= 1\cdot b + a$ . La conmutatividad significa aquí que $1\cdot b + a = 1\cdot a + b$ . Podemos ver que sólo a través del uso afortunado de $1$ que esto es conmutativo; $cb + a \not= ca+b$ en el caso general. Si definimos la sucesión como un incremento de dos, ¡la suma ya no sería conmutativa!

Con la multiplicación, $a \cdot b $ significa añadir $a$ a sí mismo, $b$ veces $= \sum_{i=1}^b a$ . Sólo por el hecho de que la adición es "hiperconmutativa" (es decir $\sum_{i=1}^b a = \sum_{i=1}^a b$ ) que la multiplicación es conmutativa.

Supongamos que defino una operación $+_2$ que significa "adición en la que la sucesión se incrementa en dos", como se ha sugerido anteriormente. $a+_2 b = 2a + b$ . En este caso, la multiplicación pierde su conmutatividad, ya que $a +_2 a +_2 \dots +_2 a$ $b$ veces no es lo mismo que $b +_2 b +_2 \dots$ a veces.

Así que para invertir tu pregunta: ¿por qué la suma y la multiplicación son conmutativas? Parece que es por la afortunada elección de la sucesión.

Para extenderlo aún más, podemos considerar la multiplicación como una forma extraña de la suma. En general, $ab = (a-1)b + b = b +_{a-1} b$ . Conectando eso a, digamos, $b^2$ , nos encontraríamos con $b^2=b +_{b-1} b$ . Así que la exponenciación no es conmutativa porque su "sucesor" no es 1. Esto también explica por qué la exponenciación es conmutativa para, por ejemplo $2^2$ ya que $2-1=1$ y así tenemos un sucesor de la unidad. Es más complejo para $b^b$ pero creo que el principio se mantiene.

Resumiendo: es porque el "1" es especial. Espero que esto sea de algún interés, aunque no sea tan "intuitivo" como me gustaría.

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EDIT: Quizás el punto más interesante de esa larga historia es: si $H_0\not= +1$ entonces ninguna operación es conmutativa.

Answer 3

Creo que puedo vestir la respuesta de Qiaochu en términos geométricos. La conmutatividad de la suma y la multiplicación (en $\bf N$ ) puede verse como una observación de la simetría de los bloques de recuento que están dispuestos de determinadas maneras. Recuerdo que en la escuela primaria veía los números grandes representados concretamente en nuestros libros de texto como montones de bloques .

(Su sistema implicaba $a_3$ -muchos $10\times10\times10$ cubos de bloques, $a_2$ -muchos $10\times10$ cuadrados de bloques, $a_1$ -mucha altura- $10$ columnas de bloques, y $a_0$ -muchos bloques individuales para representar el número con la representación decimal $a_3a_2a_1a_0$ .)

Representemos los números enteros por sí mismos como columnas de bloques. Entonces $a+b$ implica una columna con $a$ debajo de una columna con $b$ bloques, y $b+a$ y viceversa. Ambos $a+b$ y $b+a$ se representan mediante la operación de adición como una sola columna. De forma diferente, representamos $a\times b$ como un rectángulo de bloques de dimensiones $a$ por $b$ .

La simetría en estos dos casos es clara: voltear la columna $a+b$ al revés para obtener $b+a$ y voltear la hoja o el plano en el que el rectángulo de $a\times b$ reside sobre para obtener el de $b\times a$ .

La exponenciación, o multiplicación repetida, hace claramente no manifiestan la ventaja de que se obtiene la misma dimensión del objeto después de la aplicación. Es decir, $a^b$ debe ser representado por un $b$ -hipercubo de longitud lateral $a$ mientras que $b^a$ a $a$ -hipercubo de longitud lateral $b$ . Por lo tanto, es obvio que no hay volteo que nos pueda dar $a^b$ de $b^a$ y la fuente de simetría ha sido eliminada.

En conclusión, la conmutatividad de las operaciones sobre los números de conteo que pueden representarse a través de estas construcciones visuales puede verse como una simetría de volteo que es una propiedad que requiere una dimensión constante. Por lo tanto, la ruptura de la dimensión es la causa de la ruptura de la simetría.

Uno puede, por supuesto, contraatacar con "bueno, no hay simetría de volteo, pero ¿por qué no hay ningún tipo de simetría que produzca conmutatividad?". En cierto sentido, "la mayoría" de las operaciones binarias son no conmutativas, por lo que creer que una operación binaria "aleatoria" es no conmutativa es la posición tentativa natural a tomar hasta que surja la evidencia de lo contrario. La evidencia de lo contrario (la simetría de volteo) es sorprendentemente obvia en los casos de la suma y la multiplicación, pero no de la exponenciación.

Answer 4

Cuando leí por primera vez tu pregunta, esperé que debía significar que la suma poseía alguna propiedad oscura de la que carece la multiplicación, después de todo, tanto la estructura aditiva como la estructura multiplicativa son grupos abelianos, por lo que uno esperaría que algo así se generalizara sin más. Pero después de pensar un poco, me di cuenta de que no era así, y que el problema es que no estamos generalizando correctamente.

Porque si definimos "aplicar un operador $f$ , $n$ tiempos, es decir $f^n$ " como el procedimiento recursivo $ f^n(x) = \begin{cases} x & \text{if n = 0} \\ f^1(f^{n - 1}(x)) & \text{otherwise} \end{cases} $

Entonces esta definición utiliza realmente la adición, por lo que si quisiéramos generalizar este procedimiento adecuadamente, tendríamos que cambiar nuestra definición de "aplicar un operador $n$ tiempos" también. Y en efecto $a^n$ es igual a $(a^2)^{n / 2}$ que induce una mejor generalización de la conmutatividad.

Answer 5

Hay una heurística bastante buena que proviene de la teoría de conjuntos. Si tienes dos conjuntos, $X,Y$ Entonces:

$X\times Y=$ todo pares ordenados $(x,y):x\in X, y\in Y$

$Y^X=$ todo funciones $f:X\rightarrow Y$

Ahora bien, si $X$ y $Y$ resulta ser finito conjuntos, con $|X|=m$ y $|Y|=n$ entonces tenemos $|X\times Y|=mn$ y $|Y^X|=n^m$ como siempre.

Así que debe quedar claro que $|X\times Y|=|Y\times X|$ , mientras que $|Y^X|\ne|X^Y|$ para conjuntos finitos.

Ahora bien, estas normas también pasan por infinito también, lo que requiere más trabajo para mostrarlo.

Por último, existe un isomorfismo de conjuntos bastante natural entre $X\times Y$ y $Y\times X$ , $ (x,y)\leftrightarrow (y,x)$ pero ciertamente no entre $Y^X$ y $X^Y$ Es decir, no se puede simplemente cambiar un conjunto de dominio con su rango y esperar tener un isomorfismo de conjuntos en el nuevo conjunto de funciones (por ejemplo, que uno de los conjuntos tenga sólo un miembro y el otro más de uno).

Me doy cuenta de que hay muchos detalles que rellenar aquí para que este argumento sea totalmente riguroso, pero creo que muestra por qué no hay ninguna razón para pensar que la exponenciación debe conmutar dado el análogo teórico del conjunto de funciones entre conjuntos.