Orientabilidad del espacio proyectivo

Question

P: Demuestre que $\mathbb {RP}^n$ no es orientable para $n$ incluso.

Primero miré la definición de orientabilidad para las variedades de grado superior a 2, porque para las superficies conozco la definición con la banda de Möbius.

Una variedad n-dimensional es no orientable si contiene una imagen homeomórfica del espacio formado tomando el producto directo de una bola (n-1)-dimensional B y el intervalo unitario [0,1] y pegando la bola B×{0} en un extremo a la bola B×{1} en el otro extremo con una sola reflexión.

El espacio proyectivo puede verse como $\mathbb S^n/\mathbb Z_2$ o $\mathbb D^n$ con puntos antipodales identificados en la frontera.

He mirado otras preguntas similares como ¿Por qué no es $\mathbb{RP}^2$ ¿orientable?

En ese hilo alguien afirma que el mapa antipodal conserva la orientación si $n$ es impar y se invierte cuando $n$ está en paz. ¿Por qué? Intuitivamente el mapa antipodal se puede construir combinando $n+1$ reflexiones en los hiperespacios $x_i=0$ y si $n$ es impar $n+1$ es par y la combinación de una cantidad par de reflejos preserva la orientación y al revés para $n$ incluso y $n+1$ impar. Necesito una pista para una prueba rigurosa.

También después de establecer esto para mí, necesito mostrar que en $\mathbb D^n$ con n par y con puntos antipodales identificados en la frontera se puede incrustar el análogo de mayor dimensión de la banda de Möbius, que tiene una sola reflexión.

El subconjunto al que sería homeomorfo es obvio, pero me gustaría una pista para demostrar que las diferentes reflexiones dan el mismo espacio.

Answer 1

Según la dualidad de Poincare, un compacto $n$ -manifold $M$ es orientable si $H_n(M,\mathbb{Z}) \neq 0$ . Los grupos de homología del espacio proyectivo real pueden calcularse utilizando una descomposición de celdas con una sola celda en cada dimensión. Este artículo de la wikipedia tiene una buena explicación de por qué esto lleva a un grupo de homología dimensional superior evanescente o $\mathbb{R} \mathbb{P}^n$ si $n$ está en paz.

Answer 2

Un marco ortonómico situado en el polo norte de la esfera 2 puede ser llevado al polo sur por traslación paralela a lo largo de un gran círculo o por el mapa antipodal. Si el plano proyectivo fuera orientable, estos dos marcos resultantes serían los mismos.

Pero el marco trasladado y el marco identificado tienen una orientación opuesta.

Para las esferas Impares tienen la misma orientación por lo que los espacios proyectivos Impares son orientables.

Answer 3

Como ha mencionado en la pregunta, $\pi:\mathbb{S}^n\rightarrow\mathbb{R}\mathbb{P}^n$ es un $\mathbb{Z}_2$ -cubierta principal, con grupo de cubierta $\{1,\alpha\}$ , donde $\alpha$ es el mapa antípoda de $\mathbb{S}^n$ . Desde $\pi\circ\alpha=\pi$ obtenemos retrocesos que satisfacen $\alpha^*\circ\pi^*=\pi^*$ que muestra si $\mathbb{R}\mathbb{P}^n$ es orientable entonces $\alpha$ debe preservar la orientación mediante el arrastre de la misma orientación en $\mathbb{R}\mathbb{P}^n$ a $\mathbb{S}^n$ . Pero el mapa de las antípodas $\alpha$ conserva la orientación si $n$ es impar.