¿Cómo transportan energía las ondas electromagnéticas?

Question

Se dice que las ondas electromagnéticas transportan energía. ¿Se debe esto a que estas ondas están formadas por campos eléctricos y magnéticos que pueden provocar cambios en las cosas que caen dentro de su alcance? ¿Por eso se dice que las ondas electromagnéticas son portadoras de energía? ¿Por qué algunas ondas electromagnéticas, como los rayos gamma o los rayos X, tienen más energía? He leído que es porque tienen alta frecuencia pero no entiendo cómo y por qué las ondas electromagnéticas de mayor frecuencia tienen más energía. ¿Cuál es la razón?

Answer 1

Debes recordar una cosa: el campo electromagnético es sólo una representación espacial de cómo las cargas eléctricas interactúan entre sí, y por "interactuar" En realidad quiero decir "intercambiar algo de energía" .

Energías electrostáticas y magnetostáticas

Imaginemos que queremos construir "desde cero" una determinada distribución de la carga $\rho(\textbf{x})$ . Esto significa que tenemos que acercarnos a diferentes tipos de cargas, y sabemos que, al hacerlo, las cargas interactuarán entre sí siguiendo la Ley de Coulomb . Básicamente, afirma que las cargas del mismo signo se repelen entre sí, mientras que las cargas de signos opuestos se atraen.

Sólo con decir esto, en realidad ya sabemos que hay algún campo EM almacenado de energía, ya que podemos inducir el movimiento (repulsión/atracción) simplemente haciendo que las cargas interactúen entre sí. Eso significa que algún tipo de energía potencial se ha convertido en energía cinética para producir el movimiento.

Sin profundizar demasiado en los cálculos, se puede calcular el total trabajo $W_e$ que hay que proporcionar para construir dicha distribución $\rho(\textbf{x})$ (es decir, reunir las cargas separadas desde el infinito): $$ W_e=\frac{1}{2}\int\mathrm{d}\textbf{x}_1\,\mathrm{d}\textbf{x}_2\,\frac{\rho(\textbf{x}_1)\rho(\textbf{x}_2)}{4\pi\epsilon_0|\textbf{x}_1-\textbf{x}_2|} $$ donde $\epsilon_0$ es la permitividad del vacío.

Utilizando las ecuaciones de Maxwell, es posible expresar $W_e$ en términos de campo eléctrico $\textbf{E}$ radiada por la distribución de la carga $\rho$ : $$ W_e=\int\mathrm{d}\textbf{x}\,\frac{\epsilon_0\textbf{E}^2}{2} $$

En realidad, lo mismo ocurre si tienes alguna distribución de corriente $\textbf{j}(\textbf{x})$ (es decir, unas cargas que se mueven y fluyen por el espacio), el trabajo total $W_m$ necesaria para producir dicha corriente puede expresarse en términos de campo magnético radiado $\textbf{B}$ : $$ W_m=\int\mathrm{d}\textbf{x}\,\frac{\textbf{B}^2}{2\mu_0} $$ donde $\mu_0$ es la permeabilidad al vacío.

Lo que quería mostrarte es que el campo EM es irradiado por distribuciones de cargas/corrientes y que este campo EM está almacenando algo de energía que proviene de las interacciones entre las cargas.

Aplicación a las ondas EM

Si reconoces que el campo EM puede transportar algo de energía, al igual que en el caso anterior, entonces no deberías tener problemas para ver por qué las ondas EM también transportan algo de energía. Las ondas EM son sólo un caso particular de campo EM que puede propagarse a través del espacio y el tiempo. Para simplificar, podemos considerar un campo monocromático onda plana de la frecuencia $\omega$ , donde : $$ \textbf{E}(\textbf{x},t)=\textbf{E}_0\,e^{\mathrm{i}(kx-\omega t)}\quad\text{and}\quad\textbf{B}(\textbf{x},t)=\frac{1}{\omega}\textbf{k}\times\textbf{E}(\textbf{x},t) $$ donde $\textbf{k}=k\,\hat{x}$ es el vector de onda.

En este caso ahora, significa que la cantidad $\mathcal{E}=W_e+W_m$ varía con respecto al tiempo. Sin entrar en muchos detalles, se puede jugar con las matemáticas y demostrar que la derivada temporal de $\mathcal{E}$ puede interpretarse como una densidad de flujo de energía $\mathbf{\Pi}$ llamado Vector Poynting tal que : $$ \int\mathrm{d}\textbf{x}\,\frac{\partial\mathcal{E}}{\partial t}=-\oint\mathrm{d}\textbf{S}\cdot\mathbf{\Pi}\quad\text{with}\quad\mathbf{\Pi}=\frac{1}{\mu_0}\,\textbf{E}\times\textbf{B} $$ donde $\textbf{S}$ es una superficie que encierra su distribución de carga.

Unidades de $\mathbf{\Pi}$ son $\text{W.m}^{-2}$ por lo que te dice cuánta energía es irradiada por su distribución de cargas/corrientes por unidad de tiempo y superficie.

Puede calcular $\mathbf{\Pi}$ para la onda plana EM y encontrar : $$ \mathbf{\Pi}=\frac{\textbf{E}^2_0}{\mu_0 c}\cos^2(kx-\omega t)\,\hat{x} $$ donde $c=1/\sqrt{\epsilon_0\mu_0}$ es la velocidad de la luz en el vacío.

¿Una interpretación microscópica en términos de fotones?

Como ya se ha dicho, el vector de Poynting indica la cantidad de energía que transporta la onda EM. Pero no explica por qué " una mayor frecuencia significa más energía "ya que la amplitud de $\mathbf{\Pi}$ es independiente de $\omega$ .

La potencia electromagnética transportada por la onda EM se define simplemente como : $$ \mathcal{P}=\int\mathrm{d}\textbf{S}\cdot\mathbf{\Pi} $$ que se expresa en vatios, es decir, en julios por segundo. Esta cantidad puede interpretarse entonces como un flujo de fotones tal que : $$ \mathcal{P}=\Phi\hbar\omega $$ donde $\hbar\omega$ es la energía transportada por un fotón, y $\Phi$ es el número de fotones por unidad de tiempo que atraviesan la superficie $\textbf{S}$ . Esta fórmula te dice que si quieres que tu onda lleve 1W, entonces necesitarás $2.5\times10^{18}$ fotones por segundo de energía de 2,5eV (es decir, 500nm de longitud de onda). O también podría tener 1W con $6.2\times10^{12}$ fotones por segundo de energía de 1MeV (típicamente rayos gamma). Como ves, necesitas muchos menos fotones gamma que fotones visibles para que tu onda lleve 1W.

Conclusión:

• "Se dice que las ondas electromagnéticas transportan energía. ¿Esto se debe a que estas ondas están formadas por campos eléctricos y magnéticos que pueden provocar cambios en las cosas que caen dentro de su alcance?"

El campo EM, y en particular las ondas EM, llevan algo de energía porque son representaciones de cómo las cargas interactúan entre sí a través de la energía potencial de Coulomb.

• "¿Por qué algunas ondas electromagnéticas, como los rayos gamma o los rayos X, tienen más energía?"

Es cierto que un fotón gamma lleva individualmente más energía que un fotón visible debido a la fórmula $E=\hbar\omega$ . PERO...

• "por qué más frecuencia de ondas electromagnéticas tendrá más energía"

Esto no es necesariamente cierto porque acabamos de ver que la amplitud de la densidad de energía de una onda EM no depende de $\omega$ . La razón es que también hay que tener en cuenta cuántos fotones pueden representar su onda (el $\Phi$ aquí).

Answer 2

Me gusta la siguiente explicación. Aunque es principalmente matemática, ilustra un punto que Feynman intentó transmitir en sus conferencias. La energía siempre se conserva, y siempre que parezca que no es así sólo hay que mirar más.

Recordemos que en el contexto de la mecánica de partículas clásica se define la energía del sistema de $n$ partículas como la suma de las energías cinéticas individuales y la suma de la energía potencial producida por cada interacción (asegurándose de no contar una interacción dos veces) entre las partículas del sistema. Con esta definición se puede demostrar que para una energía que evoluciona en el intervalo $[t_i,t_f]$ tenemos $E(t_f)-E(t_i)=W_{\text{non_con}}$ donde el término de la derecha es el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas.

Ahora bien, en lo que respecta a la física clásica, las fuerzas no conservativas surgen todas de la dificultad de calcular las interacciones energéticas con precisión. Esta observación nos permite confirmar la conservación de la energía al menos para las fuerzas que uno puede considerar como "naturales". Sin embargo, una vez que se empieza a estudiar el electromagnetismo, uno de los fenómenos más comunes en nuestra experiencia cotidiana, uno se da cuenta rápidamente de que las fuerzas eléctricas y magnéticas no son conservativas. En particular, existe una ecuación de Maxwell que establece $\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}$ prohibiendo la existencia de una función $U$ tal que $\vec{E}=\nabla U$ en presencia de campos magnéticos no estáticos. Por lo tanto, se llega a la conclusión de que en presencia de campos electromagnéticos arbitrarios la energía no se conserva.

Tras una conclusión tan inquietante hay que tratar de analizar el asunto con más detenimiento. En particular, intentemos calcular el trabajo realizado por el campo electromagnético sobre una región del espacio $\Omega$ con una densidad de carga $\rho$ . Tenemos $$W_{\text{EM}}=\int_\Omega dV\rho\int_\mathcal{C}(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B})\cdot d\vec{r}=\int_\Omega dV\rho\int_{t_i}^{t_f}dt(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B})\cdot \vec{v}= \int_\Omega dV\rho\int_{t_i}^{t_f}dt\vec{E}\cdot \vec{v}= \int_\Omega dV\int_{t_i}^{t_f}dt\vec{E}\cdot \rho\vec{v}=\int_{t_i}^{t_f}dt\int_\Omega dV\vec{E}\cdot\vec{J}=\int_{t_i}^{t_f}dt\int_\Omega dV\vec{E}\cdot\frac{1}{\mu_0}\left(\nabla\times\vec{B}-\mu_0\epsilon_0\frac{\partial\vec{E}}{\partial t} \right)=\\ \int_{t_i}^{t_f}dt\int_\Omega dV\left(\frac{1}{\mu_0}\vec{E}\cdot\nabla\times\vec{B}-\epsilon_0\vec{E}\cdot\frac{\partial\vec{E}}{\partial t} \right)=\\ \int_{t_i}^{t_f}dt\int_\Omega dV\left\{\frac{1}{\mu_0}\left[(\nabla\times\vec{E})\cdot\vec{B}-\nabla\cdot(\vec{E}\times\vec{B})\right]-\epsilon_0\frac{1}{2}\frac{\partial E^2}{\partial t} \right\}=\\ \int_{t_i}^{t_f}dt\int_\Omega dV\left( -\frac{1}{\mu_0}\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\cdot\vec{B}-\frac{1}{\mu_0}\nabla\cdot(\vec{E}\times\vec{B})-\epsilon_0\frac{1}{2}\frac{\partial E^2}{\partial t} \right)=\\ -\int_{t_i}^{t_f}dt\int_\Omega dV\frac{1}{\mu_0}\nabla\cdot(\vec{E}\times\vec{B})-\int_\Omega dV\int_{t_i}^{t_f}dt\left( \frac{1}{2\mu_0} \frac{\partial B^2}{\partial t}+\frac{1}{2}\epsilon_0\frac{\partial E^2}{\partial t}\right)=\\ -\int_{t_i}^{t_f}dt\int_\Omega dV\frac{1}{\mu_0}\nabla\cdot(\vec{E}\times\vec{B})-\int_\Omega dV\left( \frac{1}{2\mu_0} B^2(t_f)+\frac{1}{2}\epsilon_0E^2(t_f)\right)+\int_\Omega dV\left( \frac{1}{2\mu_0} B^2(t_i)+\frac{1}{2}\epsilon_0E^2(t_i)\right)=\\ -\int_{t_i}^{t_f}dt\int_{\partial\Omega} d\vec{A}\cdot\frac{1}{\mu_0}(\vec{E}\times\vec{B})-\int_\Omega dV\left( \frac{1}{2\mu_0} B^2(t_f)+\frac{1}{2}\epsilon_0E^2(t_f)\right)+\int_\Omega dV\left( -\frac{1}{2\mu_0} B^2(t_i)+\frac{1}{2}\epsilon_0E^2(t_i)\right) $$

Para entender mejor este resultado definamos la energía electromagnética (un nombre muy sugerente) en el tiempo $t$ como $E_{\text{EM}}(t)=\int_\Omega dV\left( -\frac{1}{2\mu_0} B^2(t)+\frac{1}{2}\epsilon_0E^2(t)\right) $ y el vector Pointyng como $\vec{S}=\frac{1}{\mu_0}(\vec{E}\times\vec{B})$ tenemos que el trabajo realizado por la fuerza electromagnética es $$W_{\text{EM}}=E_{\text{EM}}(t_i)-E_{\text{EM}}(t_f)-\int_{t_i}^{t_f}dt\int_{\partial\Omega} d\vec{A}\cdot\vec{S}$$

Ahora, se puede escribir el resultado mecánico como $E(t_f)-E(t_i)=W_{\text{non_con}}+W_{\text{EM}}$ donde ahora la fuerza electromagnética no se tiene en cuenta al calcular el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas. Introduciendo el resultado anterior se tiene $E(t_f)-E(t_i)+E_{\text{EM}}(t_f)-E_{\text{EM}}(t_i)=W_{\text{non_con}}-\int_{t_i}^{t_f}dt\int_{\partial\Omega} d\vec{A}\cdot\vec{S}$ y llegamos a la apasionante conclusión de que lo único que necesitábamos era redefinir la energía teniendo en cuenta la debida al campo electromagnético para recuperar $E(t_f)-E(t_i)=W_{\text{non_con}}-\int_{t_i}^{t_f}dt\int_{\partial\Omega} d\vec{A}\cdot\vec{S}$ . Ahora que hemos redefinido la energía, podemos interpretar el término $\int_{t_i}^{t_f}dt\int_{\partial\Omega} d\vec{A}\cdot\vec{S}$ como energía que escapa del sistema. Esta es la clave de las ondas de luz que transfieren energía. Lo hacen a través del flujo del vector Pointyng.

Obsérvese que este ejemplo ejemplifica cómo la energía no es un concepto que resulte obvio al observar la naturaleza. Creemos que es porque la hemos utilizado tanto durante nuestra experiencia académica que intentamos naturalizarla. No obstante, la energía es en realidad una cantidad que definimos a nuestro antojo y el hecho sorprendente de la ley de conservación de la energía no es que un número se conserve, sino que el ser humano se las ha arreglado para encontrar la forma de redefinir un número para que lo haga.

Ahora bien, hay que tener en cuenta que la definición del vector Pointyng, cuyo flujo determina la cantidad de energía que transporta la luz, es proporcional a las amplitudes del campo electromagnético, no a la frecuencia. Pero tú has señalado que la energía de una onda electromagnética depende de la frecuencia y no de la amplitud. Este es el principio de la mecánica cuántica. Tu observación junto con la prueba anterior demuestran que la mecánica clásica es una teoría de la física incompleta.

Answer 3

La energía se transporta en fotones individuales. Un fotón con el doble de frecuencia tiene el doble de energía. Los rayos X están formados por fotones con frecuencias más altas. La energía se transfiere en forma de energía cinética, como ocurre con el efecto fotoeléctrico. La energía de un fotón se calcula como E=hf (Energía= constante de Plank x la frecuencia).

Answer 4

Las ondas EM son, básicamente, espirales de fotones. Para crear una onda EM, básicamente se mueven algunos electrones de forma direccional (piensa en una antena). El electrón es una partícula cargada al igual que los protones. Las partículas cargadas emiten fotones, y si emites fotones de una manera ordenada como esta:

Estás viendo una antena dipol. Cuando se aplica un voltaje negativo (carga intensa de electrones referenciada a la antena) a la entrada de la antena los electrones se mueven hacia los extremos de la antena y se reflejan en lo opuesto si se aplica un voltaje positivo los electrones se moverán hacia la fuente por lo que si se aplica el voltaje (carga de electrones de referencia) a la antena en una frecuencia (y si VSWR de la antena se adapta a la frecuencia) se emitirá un montón de fotones en un orden (en una longitud de onda) en una dirección.

Y si los fotones chocan con una antena en el mismo orden y característica que la antena emisora, los fotones serán absorbidos por la antena y empujarán a los electrones a bandas electrónicas superiores y finalmente los electrones quedarán libres debido al estado de alta energía y los electrones libres crearán una carga de esa manera. Por supuesto, si quieres llevar una señal significativa (energía significativa) tienes que tener cuidado con las características de la antena emisora y receptora.

Las ondas EM no son más que movimientos de fotones en un orden ondulatorio. Y los fotones transportan energía. Es así de simple.