¿Existe tal cosa como una prueba con el ejemplo (no contrarrestar ejemplo)

Question

Hay una cosa lógica como prueba por ejemplo?

Sé que muchas veces cuando estoy trabajando con manipulaciones algebraicas, tengo que hacer pruebas rápidas para ver si me acordaba de la fórmula de la derecha.

Esto funciona y es completamente lógico para el contra-ejemplos. Un contador específico ejemplo refuta la regla general. Un ejemplo podría ser si $(a+b)^2 = a^2+b^2$. Esto es rápidamente desmiente la mayoría de las opciones de un contra ejemplo.

Sin embargo, supongamos que se desea probar algo que es cierto como $log_a(b) = log_x(b)/log_x(a)$. Puedo coger algunos puntos a y b y probar rápidamente para un ejemplo. Si puedo probar un número suficiente de puntos, entonces puede estar seguro de que no funciona en el caso general. No es que probablemente funciona, pero de que funciona suponiendo que yo escoja lo suficientemente buenos puntos. (Aunque en la práctica, tengo una vaga idea de lo que hace que un conjunto de suficientemente buenos puntos y se basan en que la intuición y la observación de que debería funcionar)

¿Por qué es esta forma de pensar "probablemente trabaja" correcto?

He pensado acerca de ello, y aquí es lo mejor que puedo, pero me gustaría escuchar una respuesta mejor:

Si la ecuación es falsa (los dos lados no son iguales), entonces no es va a haber restricciones en lo que a y b pueden ser. En este ejemplo es una ecuación y dos incógnitas. Si puedo probar un punto, ver encaja la ecuación, entonces pruebe con otro punto, no se ajusta a la ecuación, y prueba uno de los que no "están en el camino formado por los otros dos probado puntos", luego he probado.

Recuerdo que me habían dicho en la escuela que este no es el mismo como lo demuestra el caso general como sólo he probado ejemplos concretos, pero pensando un poco más ahora, estoy casi seguro de que es un método riguroso para demostrar el caso general, siempre que recoger los puntos de derecho y de satisfacer algún tipo de "no en el mismo camino" requisito de los puntos elegidos.

edit: Gracias por los buenos comentarios y respuestas. Yo estaba un poco indeciso sobre la publicación de esta causa de "lo estúpido que una pregunta es" y conseguir un montón de consejos sobre por qué esto no funciona, en lugar de una buena discusión. He encontrado el polinomio de respuesta es de lo más útil a mi pregunta original de si o no este método podría ser riguroso, pero he encontrado el enlace a los números pequeños en la intuición quiz bastante impresionante también.

edit2: Oh, yo también originalmente marcada esta como lineal álgebra porque los grados de libertad de la naturaleza cuando la hipótesis no es verdadera. Pero me olvidé de hablar de eso, por lo que puedo ver por qué fue llevado a cabo. Cuando una hipótesis no es verdadera (es decir, el polinomio de LHS no es igual al polinomio RHS), las variables no pueden ser nada, y no existe un contraejemplo para mostrar esto. Por la elección de puntos que rebanada de estas posibilidades en el camino correcto, es la prueba de que la hipótesis es cierta, al menos para los polinomios. Los puntos tienen que ser elegidos de modo que no hay forma posible de que el polinomio puede cumplir con todos ellos. Si cumple con estos puntos, la única posibilidad es que los polinomios son los mismos, comprobando la hipótesis por ejemplo. Me imagino que hay una versión más general de este, pero es probablemente más difícil que escribir pruebas de la forma más sencilla y directa en muchos de los casos. Tal vez "por ejemplo", es pedirle a ser lapidada y disparó. Creo que la "fuerza bruta" estaba más cerca de lo que estaba pidiendo, pero yo no me di cuenta al principio.

Gracias a todos!

Answer 1

En matemáticas, "probablemente trabaja" nunca es una buena razón para pensar que algo ha sido probada. Hay ciertos patrones que mantienen una gran cantidad de pequeños números - la mayoría de los números de uno pondría a prueba - y luego se rompen después de algunos obscenamente grande $M$ (ver aquí para ver un ejemplo). Si alguna ecuación o declaración que no se mantienen en general, pero tiene ciertos valores, entonces sí, habrá limitaciones, pero esas limitaciones puede ser muy difícil o incluso imposible de cuantificar: dicen que una ecuación tiene para todos los compuestos de números, pero no para todos los números primos. Como no conocemos una fórmula para la $n$th el primer número, sería muy duro para poner a prueba su "camino" para ver donde esta el error.

Sin embargo, no hay tal cosa como una prueba por ejemplo. A menudo nos quieren mostrar dos estructuras, decir $G$$H$, para que sea el mismo en algún sentido matemático: por ejemplo, se podría mostrar a $G$ $H$ son isomorfos como grupos. Entonces bastaría con encontrar un isomorfismo entre ellos! En general, si quieres mostrar algo existe, usted puede probarlo por encontrarlo!

Pero de nuevo, si usted quiere mostrar algo que es cierto para todos los elementos de un conjunto dado (por ejemplo, desea mostrar $f(x) = g(x)$ todos los $x\in\Bbb{R}$), entonces usted tiene que utilizar más el argumento general: no cantidad de casos de pruebas de probar su reclamación (a menos que usted puede probar todos los elementos del conjunto de forma explícita: por ejemplo, cuando el conjunto es finito, o cuando se puede aplicar la inducción matemática).

Answer 2

Sí. Como se señala en los comentarios de CEdgar:

Teorema: No existe un número primo impar. Prueba: 17 es un número primo impar.

Dicho sea de paso, esta es también una prueba con el ejemplo que hay pruebas por ejemplo.

Answer 3

Si un enunciado puede ser demostrado por ejemplo depende de la forma lógica de la declaración.

Si la declaración es de la forma "existe una $X$ tal que ...", entonces usted puede probar la declaración proporcionando un ejemplo de una $X$. Por ejemplo, puedo demostrar que la ecuación de $2x=6$ tiene una solución a través de $\mathbb{N}$ demostrando que $3$ es una solución. Hay otros posibles métodos de prueba para demostrar existencial teoremas, así, como una prueba por contradicción.

La afirmación de que una ecuación es siempre correcto no es una declaración existencial, sin embargo: es un universal de la declaración ("por cada $z$ en el dominio de la ecuación, la ecuación tiene"). Las declaraciones de esa forma no puede, en general, podrá demostrarse mediante la presentación de ejemplos. En algunos casos especiales, sin embargo, se puede.

Por ejemplo, si $p(x)$ $q(x)$ son dos funciones polinómicas de grado $n$ más de un campo, para demostrar que son la misma función, es suficiente para encontrar $n+1$ puntos donde ellos son iguales. Observe que el uso de este método lo primero que tenía que demostrar un teorema general que dos grados $n$ polinomios que de acuerdo al $n+1$ puntos son iguales. Este es un ejemplo de la informal principio de "conservación de la dificultad": si el resultado es considerablemente más fácil de demostrar a través de un determinado lexema, la prueba del lema es típicamente de dificultad comparable a la original resultado.

La mayoría de los teoremas matemáticos son ni existencial ni puramente universales; son de la forma general "para todos los $X$ con ciertas propiedades, hay un $Y$ con ciertas propiedades". Por ejemplo, el teorema fundamental del álgebra dice que por cada polinomio con coeficientes complejos existe un número complejo que es una raíz del polinomio. Teoremas de esta forma también puede ser demostrado, en general, por dar ejemplos.

Answer 4

Si quieres demostrar$p(x) = 0$ para todos los$x$, donde$p$ es un polinomio de grado a lo sumo$n$, a continuación, basta con calcular$p(t)$ (la obtención de la valor$0$) para$n+1$ valores distintos$t$.

Answer 5

Sí. Hay muchas situaciones en las que la verdad de un enunciado es equivalente a alguna ecuación que sostiene para todos los valores de un polinomio, o un conjunto finito de polinomios. Si se puede comprobar la ecuación en los puntos suficientes, es cierto. Para ello, un menor número de puntos al azar es un certificado que es probable que sea cierto.

http://en.wikipedia.org/wiki/Schwartz–Zippel_lemma