Cómo determinar si una matriz es diagonalizable sin calcular los valores propios

Question

¿Hay alguna forma sencilla de determinar si una matriz es diagonalizable sin tener que calcular los valores propios?

Me motiva la idea de que para $\mathbb{R}^n$ Para determinar si una matriz es diagonalizable mediante una transformación ortogonal, basta con comprobar si es simétrica. Además, para $\mathbb{C}^n$ Para determinar si una matriz es diagonalizable mediante una transformación unitaria, basta con comprobar si es normal. Así que tengo curiosidad por saber si se puede prescindir de los requisitos ortogonales/unitarios sin dejar de tener un método fácil para comprobar si una matriz es diagonalizable.

Answer 1

Una matriz es diagonalizable sobre $\mathbb{R}$ si y sólo si todos los ceros de su polinomio mínimo son simples. Si el polinomio mínimo es $f(t)$ sus ceros son simples si y sólo si el gcd de $f(t)$ y su derivado $f'(t)$ es $1$ .

Así que el problema es calcular el polinomio mínimo. El enfoque obvio es calcular la forma canónica racional (también llamada forma normal de Frobenius). Las propiedades clave de esta forma son que se puede calcular sobre $\mathbb{R}$ y que no requiere ninguna información sobre los valores propios.