Estoy tratando de mostrar $$ \sum_ {d \leq x} \mu (d) \left\lfloor \frac {x}{d} \right\rfloor = 1 \;\;\;\; \forall \; x \in \mathbb {R}, \; x \geq 1 $$ Sé que la suma de los divisores $d$ de $n$ es cero si $n \neq 1$ . Así que podemos descartar los números enteros que son divisores de $x$ (si $x > 1$ ). No estoy seguro de estar en el camino correcto para probar esto. Cualquier pista sería útil. Esto es una tarea.
Respuestas
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Este es un ejemplo típico de la inversión de Möbius.
Utilice $ \sum\limits_ {d|n} \mu (d)= \epsilon (n)$ donde $ \epsilon (n)=1$ si $n=1$ y 0 de lo contrario. Ahora, $$ \sum_ {n \leq x} \sum_ {d|n} \mu (d)= \sum_ {n \leq x} \epsilon (n)=1$$ Cambiando el orden de la suma, obtenemos $$ \sum_ {d \leq x} \mu (d) \sum_ {d|n, n \leq x}=1$$ Entonces el resumen interno es $ \left\lfloor\frac {x}{d} \right\rfloor $ . Entonces, hemos terminado.
Andreas Caranti
Puntos
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Parece ser, en efecto, un ejemplo de la La fórmula de inversión de Moebius aplicado a $f(x) = \lfloor x \rfloor $ y $g(x) = 1$ . Tenemos $$ f(x)= \sum_ {d \in \mathbf {Z}, 1 \le d \le x} g(x/d). $$ Luego $$ g(x) = \sum_ {d \in \mathbf {Z}, 1 \le d \le x} \mu (d) f(x/d) $$
